שטח משולש בעזרת סינוס

שטח של משולש הוא חצי מכפלת צלע בגובה אליה. כשידועות שתי צלעות והזווית שביניהן, הסינוס נותן את הגובה:

ההוכחה שלפניכם מעבירה את הגובה $\displaystyle {BD}={h}$ לצלע $\displaystyle b$, ומראה ש־$\displaystyle {h}={a\sin\gamma}$.

• במשולש ישר הזווית $\displaystyle BDC$ היתר הוא $\displaystyle a$, ו־$\displaystyle h$ הניצב מול $\displaystyle \gamma$: $\displaystyle {\sin\gamma}={\frac{h}{a}}$, כלומר $\displaystyle {h}={a\sin\gamma}$.
• לכן $\displaystyle {S}={\frac{1}{2}b\cdot h}={\frac{1}{2}ab\sin\gamma}$.

כש־$\displaystyle \gamma$ קהה, הגובה מ־$\displaystyle B$ פוגש את המשך הצלע $\displaystyle b$ מחוץ למשולש.

• במשולש ישר הזווית $\displaystyle BDC$ הזווית ב־$\displaystyle C$ היא $\displaystyle 180^{\circ}-\gamma$ (זווית צמודה), ולכן $\displaystyle {h}={a\sin(180^{\circ}-\gamma)}$.
• $\displaystyle {\sin(180^{\circ}-\gamma)}={\sin\gamma}$, ולכן שוב $\displaystyle {h}={a\sin\gamma}$ ו־$\displaystyle {S}={\frac{1}{2}ab\sin\gamma}$.

כש־$\displaystyle {\gamma}={90^{\circ}}$, $\displaystyle {\sin\gamma}={1}$ והנוסחה היא חצי מכפלת הניצבים. הנוסחה נכונה בכל משולש.

• הזווית הכי טובה: כשהצלעות $\displaystyle a$ ו־$\displaystyle b$ קבועות, השטח הגדול ביותר כש־$\displaystyle {\sin\gamma}={1}$, כלומר $\displaystyle {\gamma}={90^{\circ}}$.
• שתי זוויות, אותו שטח: $\displaystyle {\sin(180^{\circ}-\gamma)}={\sin\gamma}$, ולכן משולש עם הזווית $\displaystyle 40^{\circ}$ בין הצלעות $\displaystyle a$ ו־$\displaystyle b$, ומשולש עם הזווית $\displaystyle 140^{\circ}$ בין אותן צלעות, שווים בשטחם.
• מקבילית שצלעותיה $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ והזווית ביניהן $\displaystyle \alpha$: האלכסון מחלק אותה לשני משולשים חופפים, ולכן השטח שלה $\displaystyle ab\sin\alpha$.

חשבו את השטח, בערך מדויק.

משולש: $\displaystyle {a}={8}$, $\displaystyle {b}={6}$, והזווית ביניהן $\displaystyle 30^{\circ}$.

משולש: $\displaystyle {a}={5}$, $\displaystyle {b}={8}$, והזווית ביניהן $\displaystyle 120^{\circ}$.

מקבילית שצלעותיה $\displaystyle 7$ ו־$\displaystyle 4$, והזווית ביניהן $\displaystyle 45^{\circ}$.

שתי צלעות של משולש הן $\displaystyle 6$ ו־$\displaystyle 10$, ושטחו $\displaystyle 15$.
$\displaystyle x$ היא הזווית בין שתי הצלעות. מצאו את כל האפשרויות.

האם ייתכן שאחת הזוויות של משולש תגדל ב־$\displaystyle 60^{\circ}$, שתי הצלעות שלידה יישארו באותו אורך, ושטח המשולש לא ישתנה?

$\displaystyle x$ היא הזווית לפני השינוי. פתרו את המשוואה שהשוויון בין השטחים נותן.

מהן הזוויות לפני השינוי ואחריו? הסבירו בעזרת $\displaystyle {\sin(180^{\circ}-\alpha)}={\sin\alpha}$.