משוואות טריגונומטריות בסיסיות

טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 11 מתוך 21לימוד

משוואות טריגונומטריות בסיסיות

המשוואה

\displaystyle {\sin x}={a}

הפתרונות של $\displaystyle {\sin x}={a}$ הם המספרים שהנקודה שלהם על מעגל היחידה נמצאת בגובה $\displaystyle a$ . בלוח, $\displaystyle {a}={\frac{\sqrt{3}}{2}}$ : הישר $\displaystyle {y}={\frac{\sqrt{3}}{2}}$ חותך את המעגל בשתי נקודות.

$\displaystyle {A}={P\left(\frac{\pi}{3}\right)}$ , ו־ $\displaystyle B$ היא השיקוף שלה ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$ : $\displaystyle {B}={P\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}={P\left(\frac{2\pi}{3}\right)}$ .
לכל נקודה מתאימים אינסוף מספרים, $\displaystyle +2\pi k$ .

\displaystyle x^{2}+y^{2}=1

\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle A=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})

\displaystyle B=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})

ולכן, כש־ $\displaystyle {\sin\alpha}={a}$ :

\displaystyle x=\alpha+2\pi k,\quad x=\pi-\alpha+2\pi k

זה הפתרון הכללי: כל הפתרונות, $\displaystyle k$ שלם. בדוגמה: $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{3}+2\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\frac{2\pi}{3}+2\pi k}$ .

כש־ $\displaystyle |a|>1$ הישר לא פוגש את המעגל: אין פתרון.
כש־ $\displaystyle {a}={1}$ , $\displaystyle {a}={-1}$ או $\displaystyle {a}={0}$ שתי המשפחות נותנות אותן נקודות: $\displaystyle {\sin x}={1}$ – $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}+2\pi k}$ ; $\displaystyle {\sin x}={0}$ – $\displaystyle {x}={\pi k}$ .

המשוואה

\displaystyle {\cos x}={b}

הפתרונות של $\displaystyle {\cos x}={b}$ הם המספרים שהנקודה שלהם נמצאת על הישר האנכי $\displaystyle {x}={b}$ . שתי הנקודות הן שיקוף זו של זו ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$ : $\displaystyle P(\alpha)$ ו־ $\displaystyle P(-\alpha)$ . כש־ $\displaystyle {\cos\alpha}={b}$ :

\displaystyle x=\pm\alpha+2\pi k

למשל, $\displaystyle {\cos x}={-\frac{1}{2}}$ : $\displaystyle {\cos\frac{2\pi}{3}}={-\frac{1}{2}}$ , ולכן $\displaystyle {x}={\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k}$ . כש־ $\displaystyle |b|>1$ אין פתרון.

המשוואה

\displaystyle {\tan x}={c}

לכל מספר $\displaystyle c$ יש נקודה $\displaystyle (1,c)$ על הישר המשיק, והקו מהראשית דרכה חותך את המעגל בשתי נקודות נגדיות – חצי סיבוב זו מזו. כש־ $\displaystyle {\tan\alpha}={c}$ :

\displaystyle x=\alpha+\pi k

למשל, $\displaystyle {\tan x}={-1}$ : $\displaystyle {x}={-\frac{\pi}{4}+\pi k}$ . למשוואה הזאת יש פתרון לכל $\displaystyle c$ .

\displaystyle \alpha

שאינו ערך מיוחד

כש־ $\displaystyle a$ אינו אחד הערכים המיוחדים, את $\displaystyle \alpha$ נותן המחשבון (מכוון לרדיאנים):

$\displaystyle \sin^{-1}a$ – המספר בין $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ שהסינוס שלו $\displaystyle a$ ;
$\displaystyle \cos^{-1}b$ – המספר בין $\displaystyle 0$ ל־ $\displaystyle \pi$ שהקוסינוס שלו $\displaystyle b$ ;
$\displaystyle \tan^{-1}c$ – המספר בין $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ שהטנגנס שלו $\displaystyle c$ .

המחשבון נותן פתרון אחד בלבד; את השאר נותנות הנוסחאות. למשל, $\displaystyle {\sin x}={0.3}$ :

$\displaystyle {x}={\sin^{-1}0.3+2\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\pi-\sin^{-1}0.3+2\pi k}$ ;
בקירוב: $\displaystyle x\approx0.305+2\pi k$ או $\displaystyle x\approx2.837+2\pi k$ .

הפתרונות בתחום נתון

כדי למצוא את הפתרונות בתחום נתון, כותבים את הפתרון הכללי ומציבים ערכים של $\displaystyle k$ , עד שיוצאים מהתחום.

בדוגמה שלפניכם נפתור $\displaystyle {\cos x}={-\frac{1}{2}}$ בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$ .

הפתרון הכללי: $\displaystyle {x}={\frac{2\pi}{3}+2\pi k}$ או $\displaystyle {x}={-\frac{2\pi}{3}+2\pi k}$ .
במשפחה הראשונה, $\displaystyle {k}={0}$ נותן $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ ; $\displaystyle {k}={1}$ כבר גדול מ־ $\displaystyle 2\pi$ .
במשפחה השנייה, $\displaystyle {k}={0}$ נותן מספר שלילי; $\displaystyle {k}={1}$ נותן $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$ .

הפתרונות: $\displaystyle {x}={\frac{2\pi}{3}}$ או $\displaystyle {x}={\frac{4\pi}{3}}$ .

תרגיל 1

פתרו. כתבו את הפתרון הכללי.

תרגיל 2

פתרו בעזרת $\displaystyle \sin^{-1}$ ו־ $\displaystyle \tan^{-1}$ . כתבו את הפתרון הכללי.

תרגיל 3

פתרו בתחום הנתון.

$\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$

$\displaystyle -\pi\leq x\leq\pi$

$\displaystyle 0\leq x\leq4\pi$

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מעגל היחידה (רדיאנים)

מעגל היחידה
$\displaystyle x^2+y^2=1$
הנקודה של המספר $\displaystyle t$ על מעגל היחידה
$\displaystyle P(t)=(\cos t,\ \sin t)$
כל המספרים שמתאימים לאותה נקודה כמו $\displaystyle t$ ( $\displaystyle k$ שלם)
$\displaystyle t+2\pi k$
מעבר בין רדיאנים למעלות
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle \ell$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
שטח גזרה של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha R^2$

ערכים מיוחדים

$\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\quad\tan\frac{\pi}{4}=1,\quad\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

זהויות

הזהות היסודית
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \sin(\alpha+2\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \tan(\alpha+\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

גרפים של פונקציות טריגונומטריות

סינוס כללי (ובאותו אופן קוסינוס)
$\displaystyle y=A\sin(ax+b)+B$
המחזור של $\displaystyle \sin(ax+b)$ ושל $\displaystyle \cos(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$
הטווח של $\displaystyle A\sin(ax+b)+B$
$\displaystyle B-|A|\leq y\leq B+|A|$
המחזור של $\displaystyle \tan(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi}{|a|}$

משוואות טריגונומטריות ($k$ שלם)

הפתרונות של $\displaystyle {\sin x}={\sin\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+2\pi k,\quad x=\pi-\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\cos x}={\cos\alpha}$
$\displaystyle x=\pm\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\tan x}={\tan\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+\pi k$

טריגונומטריה במשולש (מעלות)

במשולש ישר זווית: $\displaystyle a$ הניצב מול $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle b$ הניצב שלידה, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad\cos\alpha=\frac{b}{c},\quad\tan\alpha=\frac{a}{b}$
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle b$ ו־ $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ ו־ $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד הצלע $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}$
משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם את המשולש)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle a$ ו־ $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$