דלג לתוכן

מעלות ורדיאנים

טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 2 מתוך 21לימוד

מעלות ורדיאנים

רדיאן

זווית שקודקודה במרכז מעגל היחידה חותכת ממנו קשת. מידת הזווית ברדיאנים היא אורך הקשת הזאת.

  • זווית של רדיאן אחד חותכת ממעגל היחידה קשת שאורכה 1 – בערך 57.3∘\displaystyle 57.3^{\circ}.
  • סיבוב שלם הוא 360∘\displaystyle 360^{\circ}, והקשת שלו היא כל ההיקף, 2π\displaystyle 2\pi. לכן 2π\displaystyle 2\pi רדיאנים הם 360∘\displaystyle 360^{\circ}:
π\displaystyle \pi =\displaystyle = 180∘\displaystyle 180^{\circ}

ליפוף המספר t\displaystyle t על מעגל היחידה (בשיעור הקודם) יוצר זווית של t\displaystyle t רדיאנים בין הקטע מהראשית ל־(1,0)\displaystyle (1,0) לבין הקטע מהראשית ל־P(t)\displaystyle P(t). מספר שלילי – זווית שנמדדת עם כיוון השעון.

כשכותבים זווית ברדיאנים לא כותבים יחידה: π2\displaystyle \frac{\pi}{2} היא זווית של π2\displaystyle \frac{\pi}{2} רדיאנים, כלומר 90∘\displaystyle 90^{\circ}.

מעבר בין מעלות לרדיאנים

1∘\displaystyle 1^{\circ} הוא π180\displaystyle \frac{\pi}{180} רדיאנים, ורדיאן אחד הוא 180∘π\displaystyle \frac{180^{\circ}}{\pi}. לכן:

  • ממעלות לרדיאנים – כופלים ב־π180\displaystyle \frac{\pi}{180}:  60∘=60⋅π180=π3\displaystyle {\ 60^{\circ}}={60\cdot\frac{\pi}{180}}={\frac{\pi}{3}};
  • מרדיאנים למעלות – כופלים ב־180∘π\displaystyle \frac{180^{\circ}}{\pi}:  3π4=3π4⋅180∘π=135∘\displaystyle {\ \frac{3\pi}{4}}={\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi}}={135^{\circ}}.

כשהזווית כתובה בעזרת π\displaystyle \pi, אפשר גם להציב π=180∘\displaystyle {\pi}={180^{\circ}}: 3π4=3⋅180∘4=135∘\displaystyle {\frac{3\pi}{4}}={\frac{3\cdot180^{\circ}}{4}}={135^{\circ}}.

זוויות שכדאי לזכור
מעלות30∘\displaystyle 30^{\circ}45∘\displaystyle 45^{\circ}60∘\displaystyle 60^{\circ}90∘\displaystyle 90^{\circ}180∘\displaystyle 180^{\circ}270∘\displaystyle 270^{\circ}360∘\displaystyle 360^{\circ}
רדיאניםπ6\displaystyle \frac{\pi}{6}π4\displaystyle \frac{\pi}{4}π3\displaystyle \frac{\pi}{3}π2\displaystyle \frac{\pi}{2}π\displaystyle \pi3π2\displaystyle \frac{3\pi}{2}2π\displaystyle 2\pi

כל השאר נבנים מהן: 2π3\displaystyle \frac{2\pi}{3} הוא פעמיים 60∘\displaystyle 60^{\circ}, כלומר 120∘\displaystyle 120^{\circ}; 5π6\displaystyle \frac{5\pi}{6} הוא חמש פעמים 30∘\displaystyle 30^{\circ}, כלומר 150∘\displaystyle 150^{\circ}.

אורך קשת ושטח גזרה

במעגל שרדיוסו R\displaystyle R, זווית מרכזית של α\displaystyle \alpha רדיאנים היא α2π\displaystyle \frac{\alpha}{2\pi} מסיבוב שלם. לכן הקשת שלה היא אותו חלק מההיקף 2πR\displaystyle 2\pi R, והגזרה שלה – אותו חלק משטח העיגול πR2\displaystyle \pi R^2:

ℓ\displaystyle \ell =\displaystyle = αR\displaystyle \alpha R
S\displaystyle S =\displaystyle = 12αR2\displaystyle \frac{1}{2}\alpha R^2

בדוגמה שלפניכם נחשב את הקשת ואת הגזרה של זווית מרכזית α=π3\displaystyle {\alpha}={\frac{\pi}{3}} במעגל שרדיוסו R=6\displaystyle {R}={6}:

  • ℓ=π3⋅6=2π≈6.28\displaystyle {\ell}={\frac{\pi}{3}\cdot6}={2\pi\approx6.28};
  • S=12⋅π3⋅36=6π≈18.85\displaystyle {S}={\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\cdot36}={6\pi\approx18.85}.

הנוסחאות נכונות רק כשהזווית ברדיאנים.

תרגיל 1

כתבו את הזווית ברדיאנים, בעזרת π\displaystyle \pi.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          כתבו את הזווית במעלות.

          א

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 3

                במעגל שרדיוסו 10\displaystyle 10 ס"מ יש זווית מרכזית של 0.6\displaystyle 0.6 רדיאנים.

                א
                אורך הקשת

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ב
                  שטח הגזרה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    אורכו של מחוג הדקות בשעון הוא 12\displaystyle 12 ס"מ.
                    הקצה שלו נע 20\displaystyle 20 דקות.

                    א

                    באיזו זווית הסתובב המחוג? כתבו אותה ברדיאנים.

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ב

                      כמה סנטימטרים עבר הקצה של המחוג?
                      עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה (השורה האחרונה מתחילה ב־≈\displaystyle \approx).

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        תרגיל 5

                        לגזרה במעגל שרדיוסו 4\displaystyle 4 יש שטח 6\displaystyle 6.
                        הזווית המרכזית שלה היא x\displaystyle x רדיאנים.
                        כתבו משוואה ב־x\displaystyle x ופתרו אותה.