משוואות טריגונומטריות בעזרת זהויות

טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 13 מתוך 21לימוד

משוואות טריגונומטריות בעזרת זהויות

זהות ומשוואה

זהות נכונה לכל $\displaystyle x$ שבו הביטויים מוגדרים: $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$ , $\displaystyle {\tan x}={\frac{\sin x}{\cos x}}$ , $\displaystyle {\sin(\pi-x)}={\sin x}$ .
משוואה נכונה רק לחלק מהמספרים, ופותרים אותה כדי למצוא אותם.

בשיעור הזה משתמשים בזהויות כדי להפוך משוואה למשוואה בסיסית אחת או יותר: $\displaystyle {\sin u}={a}$ , $\displaystyle {\cos u}={b}$ , $\displaystyle {\tan u}={c}$ .

סינוס וקוסינוס: חלוקה בקוסינוס

המשוואה $\displaystyle {\sin x}={\cos x}$ : אם $\displaystyle {\cos x}={0}$ , אז $\displaystyle {\sin x}={\pm1}$ , והשוויון לא מתקיים. לכן מותר לחלק ב־ $\displaystyle \cos x$ :

$\displaystyle {\frac{\sin x}{\cos x}}={1}$ , כלומר $\displaystyle {\tan x}={1}$ ;
$\displaystyle {x}={\frac{\pi}{4}+\pi k}$ .

כך כל משוואה מהצורה $\displaystyle {a\sin x}={b\cos x}$ הופכת למשוואה בטנגנס.

משוואה ריבועית בסינוס

בדוגמה שלפניכם נפתור $\displaystyle {2\cos^2x+3\sin x-3}={0}$ . יש בה סינוס וגם קוסינוס, ולכן נעבור קודם לפונקציה אחת.

$\displaystyle {\cos^2x}={1-\sin^2x}$ : $\displaystyle {\ 2(1-\sin^2x)+3\sin x-3}={0}$ , כלומר $\displaystyle {2\sin^2x-3\sin x+1}={0}$ .
נציב $\displaystyle {t}={\sin x}$ : $\displaystyle {2t^2-3t+1}={0}$ , ולכן $\displaystyle {t}={1}$ או $\displaystyle {t}={\frac{1}{2}}$ .
$\displaystyle {\sin x}={1}$ : $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}+2\pi k}$ .
$\displaystyle {\sin x}={\frac{1}{2}}$ : $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{6}+2\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\frac{5\pi}{6}+2\pi k}$ .

כל ערך של $\displaystyle t$ נבדק: $\displaystyle t$ מחוץ לתחום $\displaystyle -1\leq t\leq1$ לא נותן פתרון.

פירוק לגורמים, לא חלוקה

המשוואה $\displaystyle {\sin x\cos x}={\sin x}$ : מי שמחלק ב־ $\displaystyle \sin x$ מקבל $\displaystyle {\cos x}={1}$ , ומאבד את כל המספרים שבהם $\displaystyle {\sin x}={0}$ . הדרך הנכונה – להעביר אגף ולפרק:

$\displaystyle {\sin x\cos x-\sin x}={0}$ , כלומר $\displaystyle {\sin x(\cos x-1)}={0}$ ;
$\displaystyle {\sin x}={0}$ – $\displaystyle {x}={\pi k}$ ; או $\displaystyle {\cos x}={1}$ – $\displaystyle {x}={2\pi k}$ , שכבר נמצאים בין הפתרונות של $\displaystyle {\sin x}={0}$ .

הפתרון: $\displaystyle {x}={\pi k}$ .

אותו סינוס, אותו קוסינוס

מהפתרון הכללי:

$\displaystyle {\sin f}={\sin g}$ כאשר $\displaystyle {f}={g+2\pi k}$ או $\displaystyle {f}={\pi-g+2\pi k}$ ;
$\displaystyle {\cos f}={\cos g}$ כאשר $\displaystyle {f}={g+2\pi k}$ או $\displaystyle {f}={-g+2\pi k}$ .

למשל, $\displaystyle {\sin3x}={\sin x}$ :

$\displaystyle {3x}={x+2\pi k}$ – $\displaystyle {x}={\pi k}$ ;
$\displaystyle {3x}={\pi-x+2\pi k}$ – $\displaystyle {4x}={\pi+2\pi k}$ , $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}}$ .

סינוס מול קוסינוס הופכים לשני סינוסים בעזרת $\displaystyle {\cos u}={\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right)}$ .

תרגיל 1

פתרו. כתבו את הפתרון הכללי.

תרגיל 2

פתרו בעזרת פירוק לגורמים.

$\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$

תרגיל 3

פתרו. כתבו את הפתרון הכללי.

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מעגל היחידה (רדיאנים)

מעגל היחידה
$\displaystyle x^2+y^2=1$
הנקודה של המספר $\displaystyle t$ על מעגל היחידה
$\displaystyle P(t)=(\cos t,\ \sin t)$
כל המספרים שמתאימים לאותה נקודה כמו $\displaystyle t$ ( $\displaystyle k$ שלם)
$\displaystyle t+2\pi k$
מעבר בין רדיאנים למעלות
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle \ell$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
שטח גזרה של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha R^2$

ערכים מיוחדים

$\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\quad\tan\frac{\pi}{4}=1,\quad\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

זהויות

הזהות היסודית
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \sin(\alpha+2\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \tan(\alpha+\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

גרפים של פונקציות טריגונומטריות

סינוס כללי (ובאותו אופן קוסינוס)
$\displaystyle y=A\sin(ax+b)+B$
המחזור של $\displaystyle \sin(ax+b)$ ושל $\displaystyle \cos(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$
הטווח של $\displaystyle A\sin(ax+b)+B$
$\displaystyle B-|A|\leq y\leq B+|A|$
המחזור של $\displaystyle \tan(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi}{|a|}$

משוואות טריגונומטריות ($k$ שלם)

הפתרונות של $\displaystyle {\sin x}={\sin\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+2\pi k,\quad x=\pi-\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\cos x}={\cos\alpha}$
$\displaystyle x=\pm\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\tan x}={\tan\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+\pi k$

טריגונומטריה במשולש (מעלות)

במשולש ישר זווית: $\displaystyle a$ הניצב מול $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle b$ הניצב שלידה, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad\cos\alpha=\frac{b}{c},\quad\tan\alpha=\frac{a}{b}$
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle b$ ו־ $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ ו־ $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד הצלע $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}$
משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם את המשולש)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle a$ ו־ $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$