משפט הקוסינוסים

במשולש, הריבוע של צלע הוא סכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות, פחות פעמיים מכפלתן בקוסינוס של הזווית שביניהן:

$\displaystyle \gamma$ – הזווית בין $\displaystyle a$ ל־$\displaystyle b$, מול $\displaystyle c$. כש־$\displaystyle {\gamma}={90^{\circ}}$, $\displaystyle {\cos\gamma}={0}$, וזה משפט פיתגורס: משפט הקוסינוסים מרחיב אותו לכל משולש.

ההוכחה שלפניכם מניחה את המשולש במערכת צירים, $\displaystyle C$ בראשית ו־$\displaystyle CA$ על ציר ה־$\displaystyle x$, ומחשבת את $\displaystyle {c}={AB}$ בנוסחת המרחק.

• $\displaystyle {A}={(b,0)}$.
• $\displaystyle B$ נמצא במרחק $\displaystyle a$ מהראשית, בזווית $\displaystyle \gamma$ מציר ה־$\displaystyle x$: הנקודה $\displaystyle (\cos\gamma,\sin\gamma)$ במעגל היחידה, מוגדלת פי $\displaystyle a$ – $\displaystyle {B}={(a\cos\gamma,\ a\sin\gamma)}$.
• $\displaystyle {c^2}={(a\cos\gamma-b)^2+(a\sin\gamma)^2}={a^2\cos^2\gamma-2ab\cos\gamma+b^2+a^2\sin^2\gamma}$.
• $\displaystyle {\cos^2\gamma+\sin^2\gamma}={1}$, ולכן $\displaystyle {c^2}={a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$.

ההגדרה על מעגל היחידה נכונה לכל זווית, ולכן ההוכחה נכונה גם כש־$\displaystyle \gamma$ קהה.

כשידועות שלוש הצלעות, מבודדים את $\displaystyle \cos\gamma$:

הסימן של המונה קובע את סוג הזווית שמול $\displaystyle c$:

• $\displaystyle c^2<a^2+b^2$ – $\displaystyle \cos\gamma>0$, הזווית חדה;
• $\displaystyle {c^2}={a^2+b^2}$ – הזווית ישרה;
• $\displaystyle c^2>a^2+b^2$ – $\displaystyle \cos\gamma<0$, הזווית קהה.

לכל קוסינוס בין $\displaystyle -1$ ל־$\displaystyle 1$ יש זווית אחת בלבד בין $\displaystyle 0^{\circ}$ ל־$\displaystyle 180^{\circ}$, ולכן כאן – בניגוד למשפט הסינוסים – אין שתי אפשרויות.

כשהזווית הידועה אינה בין שתי הצלעות הידועות, הצלע החסרה היא אחת הצלעות שליד הזווית, ומשפט הקוסינוסים נותן משוואה ריבועית בה.

בדוגמה שלפניכם, במשולש $\displaystyle ABC$: $\displaystyle {AC}={5}$, $\displaystyle {BC}={7}$, $\displaystyle {\angle A}={60^{\circ}}$, ונמצא את $\displaystyle {AB}={x}$.

• $\displaystyle BC$ מול $\displaystyle \angle A$: $\displaystyle {49}={x^2+25-2\cdot5x\cos60^{\circ}}={x^2+25-5x}$;
• $\displaystyle {x^2-5x-24}={0}$, ולכן $\displaystyle {x}={8}$ או $\displaystyle {x}={-3}$;
• אורך חיובי: $\displaystyle {AB}={8}$.

משוואה עם שני פתרונות חיוביים פירושה שני משולשים שונים עם אותם נתונים.

חשבו את הצלע השלישית $\displaystyle c$.

$\displaystyle {a}={5}$, $\displaystyle {b}={8}$, $\displaystyle {\gamma}={60^{\circ}}$.

$\displaystyle {a}={3}$, $\displaystyle {b}={5}$, $\displaystyle {\gamma}={120^{\circ}}$.

צלעות משולש הן $\displaystyle 5$, $\displaystyle 7$ ו־$\displaystyle 8$.
חשבו את הזווית שמול הצלע $\displaystyle 7$, במעלות.

צלעות משולש הן $\displaystyle 4$, $\displaystyle 5$ ו־$\displaystyle 8$.

בלי לחשב זווית: האם המשולש חד זווית, ישר זווית או קהה זווית? הסבירו.

חשבו את הזווית הגדולה של המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

במשולש $\displaystyle ABC$: $\displaystyle {AC}={3}$, $\displaystyle {BC}={7}$, $\displaystyle {\angle A}={60^{\circ}}$.
$\displaystyle {x}={AB}$. פתרו את המשוואה שמשפט הקוסינוסים נותן.

צלעות מקבילית הן $\displaystyle 6$ ו־$\displaystyle 10$, והזווית ביניהן $\displaystyle 60^{\circ}$.
חשבו את האלכסונים, בערך מדויק.