משפט הסינוסים

במשולש, היחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה שווה בכל שלוש הצלעות, והוא קוטר המעגל החוסם את המשולש:

$\displaystyle a$ מול $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle b$ מול $\displaystyle \beta$, $\displaystyle c$ מול $\displaystyle \gamma$; $\displaystyle R$ – הרדיוס של המעגל החוסם. מול הצלע הגדולה – הסינוס הגדול.

ההוכחה שלפניכם מעבירה את הגובה $\displaystyle {CD}={h}$ לצלע $\displaystyle AB$, ומחשבת אותו בשתי דרכים.

• במשולש ישר הזווית $\displaystyle ADC$: $\displaystyle {h}={b\sin\alpha}$.
• במשולש ישר הזווית $\displaystyle BDC$: $\displaystyle {h}={a\sin\beta}$.
• לכן $\displaystyle {b\sin\alpha}={a\sin\beta}$, ונחלק ב־$\displaystyle \sin\alpha\sin\beta$: $\displaystyle {\frac{a}{\sin\alpha}}={\frac{b}{\sin\beta}}$.

גובה מקודקוד אחר נותן באותה דרך את $\displaystyle \frac{c}{\sin\gamma}$. כשאחת הזוויות קהה, משתמשים ב־$\displaystyle {\sin(180^{\circ}-\alpha)}={\sin\alpha}$, כמו בהוכחת נוסחת השטח.

ההוכחה שלפניכם מעבירה במעגל החוסם את הקוטר $\displaystyle BD$, ומראה ש־$\displaystyle {a}={2R\sin\alpha}$.

• $\displaystyle {\angle BDC}={\angle BAC}={\alpha}$: זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת $\displaystyle BC$.
• $\displaystyle {\angle BCD}={90^{\circ}}$: זווית היקפית שנשענת על קוטר.
• במשולש ישר הזווית $\displaystyle BCD$ היתר $\displaystyle {BD}={2R}$, ו־$\displaystyle {BC}={a}$ הניצב מול $\displaystyle \alpha$: $\displaystyle {a}={2R\sin\alpha}$.

לכן $\displaystyle {\frac{a}{\sin\alpha}}={2R}$, ובאותה דרך לשתי הצלעות האחרות. (כש־$\displaystyle \alpha$ קהה, $\displaystyle D$ ו־$\displaystyle A$ בצדדים שונים של $\displaystyle BC$, והזווית ב־$\displaystyle D$ היא $\displaystyle 180^{\circ}-\alpha$ – עם אותו סינוס.)

כשידועות שתי זוויות וצלע, הזווית השלישית היא $\displaystyle 180^{\circ}$ פחות שתיהן, ומשפט הסינוסים נותן כל צלע.

בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {a}={10}$, $\displaystyle {\beta}={50^{\circ}}$, $\displaystyle {\gamma}={60^{\circ}}$, ונמצא את $\displaystyle b$:

• $\displaystyle {\alpha}={180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}}={70^{\circ}}$;
• $\displaystyle {\frac{b}{\sin50^{\circ}}}={\frac{10}{\sin70^{\circ}}}$, ולכן $\displaystyle {b}={\frac{10\sin50^{\circ}}{\sin70^{\circ}}\approx8.15}$.

כשידועות שתי צלעות והזווית שמול אחת מהן, משפט הסינוסים נותן את הסינוס של הזווית שמול השנייה. לסינוס יש שתי זוויות בין $\displaystyle 0^{\circ}$ ל־$\displaystyle 180^{\circ}$: $\displaystyle \beta$ ו־$\displaystyle 180^{\circ}-\beta$.

• הזווית הנתונה מול הצלע הגדולה – רק $\displaystyle \beta$ החדה מתאימה (הזווית מול הצלע הקטנה קטנה יותר), ויש משולש אחד. זה משפט החפיפה הרביעי: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן קובעות את המשולש.
• הזווית הנתונה מול הצלע הקטנה – לפעמים שתי הזוויות מתאימות, ויש שני משולשים שונים עם אותם נתונים.

בכל מקרה בודקים שסכום הזוויות קטן מ־$\displaystyle 180^{\circ}$.

ממשפט הסינוסים, $\displaystyle {b}={\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}}$, ו־$\displaystyle {\sin\alpha}={\sin(180^{\circ}-\beta-\gamma)}={\sin(\beta+\gamma)}$. נציב ב־$\displaystyle {S}={\frac{1}{2}ab\sin\gamma}$:

$\displaystyle \beta$ ו־$\displaystyle \gamma$ הן הזוויות שליד הצלע $\displaystyle a$. בדוגמה הקודמת: $\displaystyle {S}={\frac{100\sin50^{\circ}\sin60^{\circ}}{2\sin110^{\circ}}\approx35.30}$.

חשבו בערך מדויק.

במשולש: $\displaystyle {a}={10}$, $\displaystyle {\alpha}={30^{\circ}}$, $\displaystyle {\beta}={45^{\circ}}$. חשבו את $\displaystyle b$.

במשולש: $\displaystyle {a}={6}$, $\displaystyle {\alpha}={60^{\circ}}$. חשבו את הרדיוס $\displaystyle R$ של המעגל החוסם.

במשולש $\displaystyle ABC$: $\displaystyle {BC}={4}$, $\displaystyle {AC}={4\sqrt{2}}$, ו־$\displaystyle {\angle A}={30^{\circ}}$.
$\displaystyle x$ היא הזווית $\displaystyle B$. מצאו את כל האפשרויות.

אורכי שתי צלעות של משולש הם $\displaystyle 7$ ס"מ ו־$\displaystyle 5$ ס"מ.
הזווית מול הצלע של $\displaystyle 5$ ס"מ היא $\displaystyle 40^{\circ}$.
עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

חשבו את הזווית החדה שמול הצלע של $\displaystyle 7$ ס"מ.

חשבו את האפשרות השנייה לאותה זווית.

כמה משולשים מתאימים לנתונים? כתבו את הזוויות של כל אחד.

אורכי שתי צלעות של משולש הם $\displaystyle 5$ ס"מ ו־$\displaystyle 7$ ס"מ, והזווית מול הצלע של $\displaystyle 7$ ס"מ היא $\displaystyle 40^{\circ}$.
חשבו את הזווית מול הצלע של $\displaystyle 5$ ס"מ, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה. למה יש כאן רק אפשרות אחת?