משוואות עם ארגומנט ליניארי

טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 12 מתוך 21לימוד

משוואות עם ארגומנט ליניארי

הדרך:

\displaystyle {u}={ax+b}

במשוואה כמו $\displaystyle {2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+1}={0}$ הסינוס הוא של ביטוי ליניארי ב־ $\displaystyle x$ – ארגומנט ליניארי. פותרים בשלושה צעדים:

מבודדים את הסינוס: $\displaystyle {\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)}={-\frac{1}{2}}$ ;
כותבים את הפתרון הכללי בשביל כל הארגומנט: $\displaystyle {\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)}={-\frac{1}{2}}$ , ולכן $\displaystyle {2x-\frac{\pi}{3}}={-\frac{\pi}{6}+2\pi k}$ או $\displaystyle {2x-\frac{\pi}{3}}={\pi+\frac{\pi}{6}+2\pi k}={\frac{7\pi}{6}+2\pi k}$ ;
מבודדים את $\displaystyle x$ – וגם את $\displaystyle 2\pi k$ מחלקים: $\displaystyle {2x}={\frac{\pi}{6}+2\pi k}$ או $\displaystyle {2x}={\frac{3\pi}{2}+2\pi k}$ , כלומר

\displaystyle x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi k

המרחק בין פתרונות באותה משפחה הוא $\displaystyle \pi$ – המחזור של $\displaystyle \sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ .

עוד שתי דוגמאות

$\displaystyle {\cos\frac{x}{2}}={\frac{\sqrt{3}}{2}}$ : $\displaystyle {\frac{x}{2}}={\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k}$ , ולכן $\displaystyle {x}={\pm\frac{\pi}{3}+4\pi k}$ . כופלים ב־2 – גם את $\displaystyle 2\pi k$ .
$\displaystyle {\tan3x}={1}$ : $\displaystyle {3x}={\frac{\pi}{4}+\pi k}$ , ולכן $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}}$ .

טעות נפוצה: לחלק את $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ולשכוח את $\displaystyle \pi k$ . אז “הפתרון” $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{12}+\pi k}$ מאבד שני פתרונות מכל שלושה.

מספר הפתרונות בתחום

המשוואה $\displaystyle {\sin2x}={\frac{1}{2}}$ : המחזור של $\displaystyle \sin2x$ הוא $\displaystyle \pi$ , ולכן בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$ יש לה שני מחזורים שלמים – ופי שניים פתרונות מאשר ל־ $\displaystyle {\sin x}={\frac{1}{2}}$ .

סמנו בלוח את נקודות החיתוך של $\displaystyle {f(x)}={\sin2x}$ ו־ $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{2}}$ בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$ .

\displaystyle f(x)=\sin2x

\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}

פתרו את המשוואה בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$ , ובדקו שמספר הפתרונות כמספר הנקודות שסימנתם.

תרגיל 1

פתרו. כתבו את הפתרון הכללי.

תרגיל 2

פתרו בתחום הנתון.

$\displaystyle 0\leq x\leq4\pi$

$\displaystyle 0\leq x\leq\pi$

תרגיל 3

בלי לפתור: כמה פתרונות יש למשוואה $\displaystyle {\sin5x}={0.3}$ בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$ ? הסבירו בעזרת המחזור.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מעגל היחידה (רדיאנים)

מעגל היחידה
$\displaystyle x^2+y^2=1$
הנקודה של המספר $\displaystyle t$ על מעגל היחידה
$\displaystyle P(t)=(\cos t,\ \sin t)$
כל המספרים שמתאימים לאותה נקודה כמו $\displaystyle t$ ( $\displaystyle k$ שלם)
$\displaystyle t+2\pi k$
מעבר בין רדיאנים למעלות
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle \ell$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
שטח גזרה של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha R^2$

ערכים מיוחדים

$\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\quad\tan\frac{\pi}{4}=1,\quad\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

זהויות

הזהות היסודית
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \sin(\alpha+2\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \tan(\alpha+\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

גרפים של פונקציות טריגונומטריות

סינוס כללי (ובאותו אופן קוסינוס)
$\displaystyle y=A\sin(ax+b)+B$
המחזור של $\displaystyle \sin(ax+b)$ ושל $\displaystyle \cos(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$
הטווח של $\displaystyle A\sin(ax+b)+B$
$\displaystyle B-|A|\leq y\leq B+|A|$
המחזור של $\displaystyle \tan(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi}{|a|}$

משוואות טריגונומטריות ($k$ שלם)

הפתרונות של $\displaystyle {\sin x}={\sin\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+2\pi k,\quad x=\pi-\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\cos x}={\cos\alpha}$
$\displaystyle x=\pm\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\tan x}={\tan\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+\pi k$

טריגונומטריה במשולש (מעלות)

במשולש ישר זווית: $\displaystyle a$ הניצב מול $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle b$ הניצב שלידה, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad\cos\alpha=\frac{b}{c},\quad\tan\alpha=\frac{a}{b}$
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle b$ ו־ $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ ו־ $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד הצלע $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}$
משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם את המשולש)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle a$ ו־ $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$