תופעות מחזוריות

טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 8 מתוך 21לימוד

תופעות מחזוריות

תופעה מחזורית

תופעה שחוזרת על עצמה בכל פרק זמן קבוע היא תופעה מחזורית, ופרק הזמן הזה הוא המחזור שלה:

תא בגלגל ענק – הגובה שלו חוזר בכל סיבוב;
גובה המים בנמל – גאות ושפל, פעמיים ביממה;
אורך היום – מחזור של שנה.

כשהתופעה עולה ויורדת בצורה חלקה, מתארים אותה בפונקציה $\displaystyle {y}={A\sin(ax)+B}$ או $\displaystyle {y}={A\cos(ax)+B}$ :

$\displaystyle B$ – הגובה הממוצע, באמצע בין המקסימום למינימום;
$\displaystyle |A|$ – כמה עולים מעל הממוצע ויורדים מתחתיו;
$\displaystyle {a}={\frac{2\pi}{T}}$ , כאשר $\displaystyle T$ הוא המחזור.

גם תופעה מחזורית שאינה סינוס יש: רץ שמקיף מסלול, למשל, חוזר כל הקפה למקום שבו התחיל, אבל המרחק שלו מנקודת ההתחלה לא עולה ויורד כמו גל של סינוס.

דוגמה: גלגל ענק

רדיוס של גלגל ענק $\displaystyle 20$ מ’, ומרכזו בגובה $\displaystyle 22$ מ’ מעל הקרקע.
הגלגל מסתובב סיבוב שלם ב־ $\displaystyle 12$ דקות.
בזמן $\displaystyle {t}={0}$ התא שלנו בנקודה הנמוכה ביותר.

בדוגמה שלפניכם נמצא את הגובה של התא כפונקציה של הזמן, ומתי הוא בגובה $\displaystyle 32$ מ'.

הגובה הממוצע $\displaystyle {B}={22}$ , והתא עולה ויורד $\displaystyle 20$ מ’ סביבו.
ב־ $\displaystyle {t}={0}$ התא בתחתית. $\displaystyle -\cos$ מתחיל במינימום, ולכן $\displaystyle {h(t)}={22-20\cos(at)}$ .
המחזור $\displaystyle 12$ , ולכן $\displaystyle {a}={\frac{2\pi}{12}}={\frac{\pi}{6}}$ :

\displaystyle h(t)=22-20\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)

\displaystyle h(x)=22-20\cos\left(\frac{\pi}{6}x\right)

\displaystyle y=32

\displaystyle A=(4,32)

\displaystyle B=(8,32)

בלוח: $\displaystyle h$ בשני סיבובים ( $\displaystyle x$ – הזמן בדקות) והישר $\displaystyle {y}={32}$ . בסיבוב הראשון:

$\displaystyle {22-20\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)}={32}$ , כלומר $\displaystyle {\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)}={-\frac{1}{2}}$ ;
בין $\displaystyle 0$ ל־ $\displaystyle 2\pi$ : $\displaystyle {\frac{\pi}{6}t}={\frac{2\pi}{3}}$ או $\displaystyle {\frac{\pi}{6}t}={\frac{4\pi}{3}}$ ;
כלומר $\displaystyle {t}={4}$ או $\displaystyle {t}={8}$ : התא בגובה $\displaystyle 32$ מ’ אחרי $\displaystyle 4$ דקות בדרך למעלה, ואחרי $\displaystyle 8$ דקות בדרך למטה – הנקודות $\displaystyle A$ ו־ $\displaystyle B$ .

תרגיל 1

עומק המים בנמל, במטרים, $\displaystyle t$ שעות אחרי חצות, הוא $\displaystyle {d(t)}={3+2\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)}$ .
בודקים יממה אחת: $\displaystyle 0\leq t\leq24$ .

סמנו בלוח את נקודות הגאות (מקסימום) והשפל (מינימום) ביממה ( $\displaystyle x$ – השעות).

\displaystyle d(x)=3+2\sin\left(\frac{\pi}{6}x\right)

מתי עומק המים בדיוק $\displaystyle 4$ מ’?

ספינה נכנסת לנמל רק כשהעומק לפחות $\displaystyle 2$ מ’. מתי היא יכולה להיכנס?

תרגיל 2

פקחים בשמורת טבע סופרים את הארנבות בתחילת כל חודש, החל מ־1.1.2000 ( $\displaystyle {t}={0}$ ).
המספר עולה ויורד בצורה מחזורית: הנקודות בלוח הן חלק מהמדידות ( $\displaystyle x$ – החודשים מ־1.1.2000).

כתבו בלוח פונקציה מהצורה $\displaystyle A\sin(ax)+B$ שעוברת דרך כל הנקודות.

\displaystyle (0,1000)

\displaystyle (3,1300)

\displaystyle (6,1000)

\displaystyle (9,700)

\displaystyle (12,1000)

\displaystyle (15,1300)

\displaystyle (18,1000)

\displaystyle (21,700)

\displaystyle (24,1000)

מתי בשנת 2002 ( $\displaystyle 24\leq t\leq36$ ) יהיו בשמורה $\displaystyle 1{,}150$ ארנבות?

באילו חודשים זה יקרה?

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מעגל היחידה (רדיאנים)

מעגל היחידה
$\displaystyle x^2+y^2=1$
הנקודה של המספר $\displaystyle t$ על מעגל היחידה
$\displaystyle P(t)=(\cos t,\ \sin t)$
כל המספרים שמתאימים לאותה נקודה כמו $\displaystyle t$ ( $\displaystyle k$ שלם)
$\displaystyle t+2\pi k$
מעבר בין רדיאנים למעלות
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle \ell$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
שטח גזרה של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha R^2$

ערכים מיוחדים

$\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\quad\tan\frac{\pi}{4}=1,\quad\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

זהויות

הזהות היסודית
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \sin(\alpha+2\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \tan(\alpha+\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

גרפים של פונקציות טריגונומטריות

סינוס כללי (ובאותו אופן קוסינוס)
$\displaystyle y=A\sin(ax+b)+B$
המחזור של $\displaystyle \sin(ax+b)$ ושל $\displaystyle \cos(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$
הטווח של $\displaystyle A\sin(ax+b)+B$
$\displaystyle B-|A|\leq y\leq B+|A|$
המחזור של $\displaystyle \tan(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi}{|a|}$

משוואות טריגונומטריות ($k$ שלם)

הפתרונות של $\displaystyle {\sin x}={\sin\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+2\pi k,\quad x=\pi-\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\cos x}={\cos\alpha}$
$\displaystyle x=\pm\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\tan x}={\tan\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+\pi k$

טריגונומטריה במשולש (מעלות)

במשולש ישר זווית: $\displaystyle a$ הניצב מול $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle b$ הניצב שלידה, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad\cos\alpha=\frac{b}{c},\quad\tan\alpha=\frac{a}{b}$
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle b$ ו־ $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ ו־ $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד הצלע $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}$
משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם את המשולש)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle a$ ו־ $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$