הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר זווית

טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 15 מתוך 21לימוד

הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר זווית

במעלות

מהשיעור הזה ועד סוף הקורס הזוויות במשולשים נמדדות במעלות: $\displaystyle {\sin30^{\circ}}={\frac{1}{2}}$ , כמו $\displaystyle {\sin\frac{\pi}{6}}={\frac{1}{2}}$ . המחשבון מכוון למעלות (DEG).

כל מה שלמדנו על מעגל היחידה נשאר נכון, ורק הכתיבה משתנה: $\displaystyle \pi$ רדיאנים הם $\displaystyle 180^{\circ}$ , ולכן, למשל, $\displaystyle {\sin(180^{\circ}-\alpha)}={\sin\alpha}$ ו־ $\displaystyle {\cos(180^{\circ}-\alpha)}={-\cos\alpha}$ .

יחסי הצלעות

בלוח: משולש ישר זווית, הזווית החדה $\displaystyle \alpha$ ב־ $\displaystyle A$ , הניצב $\displaystyle a$ מולה, הניצב $\displaystyle b$ לידה והיתר $\displaystyle c$ .

נקטין את המשולש פי $\displaystyle c$ : היתר נעשה באורך $\displaystyle 1$ , ואם $\displaystyle A$ בראשית ו־ $\displaystyle b$ על ציר ה־ $\displaystyle x$ , הקודקוד $\displaystyle B$ נמצא על מעגל היחידה, בנקודה $\displaystyle (\cos\alpha,\sin\alpha)$ . לכן הניצבים של המשולש המוקטן הם $\displaystyle \cos\alpha$ ו־ $\displaystyle \sin\alpha$ , ושל המשולש עצמו – פי $\displaystyle c$ :

\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad\cos\alpha=\frac{b}{c},\quad\tan\alpha=\frac{a}{b}

סינוס – הניצב מול הזווית חלקי היתר;
קוסינוס – הניצב שליד הזווית חלקי היתר;
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב שלידה.

דוגמה: צלע וזווית

בדוגמה שלפניכם נחשב במשולש ישר זווית שהיתר שלו $\displaystyle 10$ ואחת הזוויות $\displaystyle 35^{\circ}$ את שני הניצבים.

הניצב מול הזווית: $\displaystyle {a}={10\sin35^{\circ}\approx5.74}$ ;
הניצב שליד הזווית: $\displaystyle {b}={10\cos35^{\circ}\approx8.19}$ .

ובכיוון ההפוך – זווית מצלעות: אם הניצבים $\displaystyle 5$ ו־ $\displaystyle 12$ , אז $\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{5}{12}}$ , ו־ $\displaystyle {\alpha}={\tan^{-1}\frac{5}{12}\approx22.62^{\circ}}$ .

ערך מדויק וערך מקורב

בחישוב של אורך במציאות מספיק ערך מקורב: $\displaystyle \sin45^{\circ}\approx0.707$ .
בהוכחה, ובכל תוצאה שממשיכים לחשב איתה, משתמשים בערך המדויק: $\displaystyle {\sin45^{\circ}}={\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

כדאי לעגל רק בסוף החישוב: עיגול באמצע מוסיף טעות לכל צעד שאחריו.

תרגיל 1

במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle C$ ישרה.
$\displaystyle {AB}={12}$ , ו־ $\displaystyle {\angle A}={30^{\circ}}$ .
חשבו בערך מדויק.

\displaystyle BC

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle AC

תרגיל 2

הניצבים של משולש ישר זווית הם $\displaystyle 5$ ו־ $\displaystyle 12$ .
חשבו את הזווית שמול הניצב $\displaystyle 5$ , במעלות.
עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה (השורה האחרונה מתחילה ב־ $\displaystyle \approx$ ).

תרגיל 3

במשולש שווה השוקיים $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {AB}={AC}={10}$ , וזווית הבסיס $\displaystyle {\angle B}={70^{\circ}}$ .
$\displaystyle AD$ הגובה לבסיס.
עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

\displaystyle AD

\displaystyle BC

תרגיל 4

במשולש ישר זווית היתר $\displaystyle c$ ואחת הזוויות $\displaystyle \alpha$ .
הביעו את שני הניצבים ואת שטח המשולש בעזרת $\displaystyle c$ ו־ $\displaystyle \alpha$ .

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מעגל היחידה (רדיאנים)

מעגל היחידה
$\displaystyle x^2+y^2=1$
הנקודה של המספר $\displaystyle t$ על מעגל היחידה
$\displaystyle P(t)=(\cos t,\ \sin t)$
כל המספרים שמתאימים לאותה נקודה כמו $\displaystyle t$ ( $\displaystyle k$ שלם)
$\displaystyle t+2\pi k$
מעבר בין רדיאנים למעלות
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle \ell$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
שטח גזרה של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha R^2$

ערכים מיוחדים

$\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\quad\tan\frac{\pi}{4}=1,\quad\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

זהויות

הזהות היסודית
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \sin(\alpha+2\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \tan(\alpha+\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

גרפים של פונקציות טריגונומטריות

סינוס כללי (ובאותו אופן קוסינוס)
$\displaystyle y=A\sin(ax+b)+B$
המחזור של $\displaystyle \sin(ax+b)$ ושל $\displaystyle \cos(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$
הטווח של $\displaystyle A\sin(ax+b)+B$
$\displaystyle B-|A|\leq y\leq B+|A|$
המחזור של $\displaystyle \tan(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi}{|a|}$

משוואות טריגונומטריות ($k$ שלם)

הפתרונות של $\displaystyle {\sin x}={\sin\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+2\pi k,\quad x=\pi-\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\cos x}={\cos\alpha}$
$\displaystyle x=\pm\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\tan x}={\tan\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+\pi k$

טריגונומטריה במשולש (מעלות)

במשולש ישר זווית: $\displaystyle a$ הניצב מול $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle b$ הניצב שלידה, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad\cos\alpha=\frac{b}{c},\quad\tan\alpha=\frac{a}{b}$
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle b$ ו־ $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ ו־ $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד הצלע $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}$
משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם את המשולש)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle a$ ו־ $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$