הסינוס והקוסינוס על מעגל היחידה

לכל מספר $\displaystyle t$ יש נקודה $\displaystyle P(t)$ על מעגל היחידה. שני השיעורים שלה הם שתי פונקציות חדשות של $\displaystyle t$:

• הקוסינוס של $\displaystyle t$, $\displaystyle \cos t$ – שיעור ה־$\displaystyle x$ של $\displaystyle P(t)$;
• הסינוס של $\displaystyle t$, $\displaystyle \sin t$ – שיעור ה־$\displaystyle y$ של $\displaystyle P(t)$.

בלוח: הנקודה $\displaystyle P(2)$, והקווים המקווקווים ממנה אל הצירים. $\displaystyle P(2)$ ברביע השני, ולכן:

• $\displaystyle \cos2$ שלילי – בערך $\displaystyle -0.42$;
• $\displaystyle \sin2$ חיובי – בערך $\displaystyle 0.91$.

מחשבון שמכוון לרדיאנים (RAD) נותן את הערכים האלה.

ארבע הנקודות שבהן המעגל חותך את הצירים נותנות את הערכים מיד:

הסימן של שיעור תלוי ברביע שהנקודה נמצאת בו:

• רביע ראשון: $\displaystyle \cos t>0$, $\displaystyle \sin t>0$;
• רביע שני: $\displaystyle \cos t<0$, $\displaystyle \sin t>0$;
• רביע שלישי: $\displaystyle \cos t<0$, $\displaystyle \sin t<0$;
• רביע רביעי: $\displaystyle \cos t>0$, $\displaystyle \sin t<0$.

כל נקודה על מעגל היחידה רחוקה מכל ציר לכל היותר 1, ולכן:

הנקודה $\displaystyle (\cos t,\sin t)$ נמצאת על המעגל $\displaystyle {x^2+y^2}={1}$. נציב אותה במשוואת המעגל:

($\displaystyle \sin^2t$ פירושו $\displaystyle (\sin t)^2$.) זו זהות: היא נכונה לכל מספר $\displaystyle t$. משוואה, לעומת זאת, נכונה רק לחלק מהמספרים – אותם מחפשים כשפותרים אותה.

בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle \cos t$, כאשר $\displaystyle {\sin t}={\frac{3}{5}}$ ו־$\displaystyle P(t)$ ברביע השני.

• $\displaystyle {\cos^2t}={1-\frac{9}{25}}={\frac{16}{25}}$, ולכן $\displaystyle {\cos t}={\frac{4}{5}}$ או $\displaystyle {\cos t}={-\frac{4}{5}}$.
• ברביע השני הקוסינוס שלילי: $\displaystyle {\cos t}={-\frac{4}{5}}$.

חשבו בלי מחשבון.

קבעו בלי מחשבון את הסימן של כל מספר, והסבירו לפי הרביע:
$\displaystyle \sin2$, $\displaystyle \cos2$, $\displaystyle \sin4$, $\displaystyle \cos5$, $\displaystyle \sin(-1)$.

$\displaystyle {\sin t}={-\frac{5}{13}}$, והנקודה $\displaystyle P(t)$ ברביע השלישי.

$\displaystyle x$ הוא $\displaystyle \cos t$. פתרו את המשוואה שהזהות היסודית נותנת.

איזה מהפתרונות הוא $\displaystyle \cos t$? הסבירו.

האם יש מספר $\displaystyle t$ שמקיים את שני השוויונות?

$\displaystyle {\cos t}={0.6}$ ו־$\displaystyle {\sin t}={0.8}$. חשבו $\displaystyle \cos^2t+\sin^2t$.

$\displaystyle {\cos t}={0.5}$ ו־$\displaystyle {\sin t}={0.5}$. חשבו $\displaystyle \cos^2t+\sin^2t$.

מה התשובה בכל סעיף, ולמה? ומה לגבי $\displaystyle {\sin t}={1.2}$?