הגרפים של הסינוס והקוסינוס

טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 6 מתוך 21לימוד

הגרפים של הסינוס והקוסינוס

הגרף של הסינוס

כשהנקודה $\displaystyle P(x)$ מסתובבת על מעגל היחידה, הגובה שלה הוא $\displaystyle \sin x$ . בגרף, $\displaystyle x$ על הציר האופקי והגובה $\displaystyle \sin x$ על הציר האנכי. ציר ה־ $\displaystyle x$ מסומן בכפולות של $\displaystyle \pi$ .

\displaystyle f(x)=\sin x

התכונות של $\displaystyle {y}={\sin x}$ :

תחום הגדרה: כל $\displaystyle x$ ; טווח: $\displaystyle -1\leq y\leq1$ ;
מחזור $\displaystyle 2\pi$ : הגרף חוזר על עצמו כל $\displaystyle 2\pi$ ;
נקודות אפס: $\displaystyle {x}={\pi k}$ ;
מקסימום $\displaystyle 1$ ב־ $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}+2\pi k}$ , מינימום $\displaystyle -1$ ב־ $\displaystyle {x}={\frac{3\pi}{2}+2\pi k}$ ;
פונקציה אי־זוגית: $\displaystyle {\sin(-x)}={-\sin x}$ , והגרף סימטרי ביחס לראשית.

( $\displaystyle k$ מספר שלם, כמו בכל מקום בקורס.)

הגרף של הקוסינוס

בלוח: $\displaystyle {g(x)}={\cos x}$ , ומקווקו – $\displaystyle {f(x)}={\sin x}$ . לגרף של הקוסינוס אותה צורה, מוזזת:

\displaystyle \cos x

\displaystyle =

\displaystyle \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)

כי $\displaystyle {\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}={\sin\left(\pi-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)}={\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}={\cos x}$ . לכן הגרף של $\displaystyle \cos x$ הוא הגרף של $\displaystyle \sin x$ , מוזז $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ שמאלה.

\displaystyle f(x)=\sin x

\displaystyle g(x)=\cos x

התכונות של $\displaystyle {y}={\cos x}$ :

תחום הגדרה: כל $\displaystyle x$ ; טווח: $\displaystyle -1\leq y\leq1$ ; מחזור $\displaystyle 2\pi$ ;
נקודות אפס: $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}+\pi k}$ ;
מקסימום $\displaystyle 1$ ב־ $\displaystyle {x}={2\pi k}$ , מינימום $\displaystyle -1$ ב־ $\displaystyle {x}={\pi+2\pi k}$ ;
פונקציה זוגית: $\displaystyle {\cos(-x)}={\cos x}$ , והגרף סימטרי ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$ .

תרגיל 1

סמנו בלוח את כל נקודות האפס של $\displaystyle {f(x)}={\sin x}$ ואת כל נקודות הקיצון שלה שבתחום המוצג.

\displaystyle f(x)=\sin x

תרגיל 2

פתרו בעזרת הגרפים.

כל הפתרונות, בעזרת $\displaystyle k$ .

תרגיל 3

סמנו את נקודות החיתוך של הגרפים של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ בתחום המוצג.
בנקודות האלה $\displaystyle {\sin x}={\cos x}$ – אילו נקודות על מעגל היחידה הן?

\displaystyle f(x)=\sin x

\displaystyle g(x)=\cos x

תרגיל 4

באילו ערכים של $\displaystyle x$ בין $\displaystyle 0$ ל־ $\displaystyle 2\pi$ הקוסינוס חיובי?

תרגיל 5

כתבו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של $\displaystyle {y}={\sin x}$ בין $\displaystyle 0$ ל־ $\displaystyle 2\pi$ .

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מעגל היחידה (רדיאנים)

מעגל היחידה
$\displaystyle x^2+y^2=1$
הנקודה של המספר $\displaystyle t$ על מעגל היחידה
$\displaystyle P(t)=(\cos t,\ \sin t)$
כל המספרים שמתאימים לאותה נקודה כמו $\displaystyle t$ ( $\displaystyle k$ שלם)
$\displaystyle t+2\pi k$
מעבר בין רדיאנים למעלות
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle \ell$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
שטח גזרה של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha R^2$

ערכים מיוחדים

$\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\quad\tan\frac{\pi}{4}=1,\quad\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

זהויות

הזהות היסודית
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \sin(\alpha+2\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \tan(\alpha+\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

גרפים של פונקציות טריגונומטריות

סינוס כללי (ובאותו אופן קוסינוס)
$\displaystyle y=A\sin(ax+b)+B$
המחזור של $\displaystyle \sin(ax+b)$ ושל $\displaystyle \cos(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$
הטווח של $\displaystyle A\sin(ax+b)+B$
$\displaystyle B-|A|\leq y\leq B+|A|$
המחזור של $\displaystyle \tan(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi}{|a|}$

משוואות טריגונומטריות ($k$ שלם)

הפתרונות של $\displaystyle {\sin x}={\sin\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+2\pi k,\quad x=\pi-\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\cos x}={\cos\alpha}$
$\displaystyle x=\pm\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\tan x}={\tan\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+\pi k$

טריגונומטריה במשולש (מעלות)

במשולש ישר זווית: $\displaystyle a$ הניצב מול $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle b$ הניצב שלידה, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad\cos\alpha=\frac{b}{c},\quad\tan\alpha=\frac{a}{b}$
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle b$ ו־ $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ ו־ $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד הצלע $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}$
משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם את המשולש)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle a$ ו־ $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$