הזזות, מתיחות וכיווצים של סינוס וקוסינוס

כל מספר בפונקציה $\displaystyle {y}={A\sin(ax+b)+B}$ משנה את הגרף של $\displaystyle {y}={\sin x}$ בדרך אחרת:

• $\displaystyle B$ – הזזה אנכית: $\displaystyle B$ יחידות למעלה ($\displaystyle B<0$ – למטה). הגרף נע סביב הישר $\displaystyle {y}={B}$.
• $\displaystyle A$ – מתיחה אנכית: הגובה מעל $\displaystyle {y}={B}$ ומתחתיו גדל פי $\displaystyle |A|$. המספר $\displaystyle |A|$ הוא המשרעת. כש־$\displaystyle A<0$ הגרף גם משתקף.
• $\displaystyle a$ – כיווץ אופקי פי $\displaystyle |a|$: סיבוב שלם של $\displaystyle ax$ נגמר כבר אחרי $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$. זה המחזור:

• $\displaystyle b$ – הזזה אופקית: $\displaystyle {ax+b}={a\left(x+\frac{b}{a}\right)}$, ולכן הגרף זז $\displaystyle \frac{b}{a}$ שמאלה ($\displaystyle \frac{b}{a}<0$ – ימינה).

הטווח: $\displaystyle B-|A|\leq y\leq B+|A|$. אותם כללים בדיוק נכונים ל־$\displaystyle {y}={A\cos(ax+b)+B}$.

בדוגמה שלפניכם נקרא את התכונות של $\displaystyle {g(x)}={2\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)+1}$ מתוך הנוסחה. בלוח: $\displaystyle g$, ומקווקו – $\displaystyle \sin x$.

• $\displaystyle {B}={1}$: הגרף נע סביב $\displaystyle {y}={1}$.
• $\displaystyle {A}={2}$: המשרעת 2, ולכן הטווח $\displaystyle -1\leq y\leq3$.
• $\displaystyle {a}={2}$: המחזור $\displaystyle {\frac{2\pi}{2}}={\pi}$.
• $\displaystyle {2x-\frac{\pi}{2}}={2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}$: הזזה של $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ימינה.

בלוח: גרף של פונקציה מהצורה $\displaystyle A\sin(ax+b)+B$, עם נקודת מקסימום $\displaystyle M$ ונקודת מינימום $\displaystyle N$ אחריה. בדוגמה שלפניכם נמצא את הנוסחה שלה מהנקודות האלה.

• $\displaystyle B$ – אמצע הטווח: $\displaystyle {\frac{3+(-1)}{2}}={1}$.
• המשרעת – חצי מגובה הטווח: $\displaystyle {\frac{3-(-1)}{2}}={2}$.
• מהמקסימום למינימום עובר חצי מחזור: $\displaystyle {\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}}={\frac{\pi}{2}}$, ולכן המחזור $\displaystyle \pi$ ו־$\displaystyle {a}={\frac{2\pi}{\pi}}={2}$.

נשאר למצוא את ההזזה. יש לה יותר מתשובה אחת:

• כסינוס: $\displaystyle \sin$ מגיע למקסימום כשהארגומנט $\displaystyle \frac{\pi}{2}$. ב־$\displaystyle {x}={\frac{\pi}{4}}$: $\displaystyle {2\cdot\frac{\pi}{4}}={\frac{\pi}{2}}$ – אין צורך בהזזה, $\displaystyle {y}={2\sin2x+1}$.
• כקוסינוס: $\displaystyle \cos$ מגיע למקסימום כשהארגומנט $\displaystyle 0$, ולכן הגרף הוא $\displaystyle \cos2x$ מוזז $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ימינה: $\displaystyle {y}={2\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)+1}$.

שתי הנוסחאות מתארות אותו גרף, כי $\displaystyle {\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)}={\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}={\sin2x}$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={3\sin2x-1}$.

סמנו בלוח את נקודות המקסימום והמינימום שלה שבתחום המוצג.

כתבו את המשרעת, המחזור והטווח של $\displaystyle f$, ואיך הם נראים בנקודות שסימנתם.

בכל לוח – גרף של טרנספורמציה אחת של $\displaystyle \sin x$ או של $\displaystyle \cos x$.
כתבו בלוח את הנוסחה שלה.

כתבו בלוח שתי נוסחאות לגרף: אחת כטרנספורמציה של $\displaystyle \sin x$, ואחת כטרנספורמציה של $\displaystyle \cos x$.

המחזור של $\displaystyle {y}={\sin ax}$ ($\displaystyle a>0$) הוא $\displaystyle \frac{\pi}{3}$.
פתרו את המשוואה ומצאו את $\displaystyle a$.