ערכים מיוחדים: π/6, π/4, π/3

טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 4 מתוך 21לימוד

ערכים מיוחדים: π/6, π/4, π/3

הזווית

\displaystyle \frac{\pi}{4}

$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ הוא חצי מהדרך מ־ $\displaystyle (1,0)$ ל־ $\displaystyle (0,1)$ , ולכן הנקודה $\displaystyle P\left(\frac{\pi}{4}\right)$ נמצאת על הישר $\displaystyle {y}={x}$ : שני השיעורים שלה שווים. נציב $\displaystyle {x}={y}$ במשוואת המעגל:

$\displaystyle {x^2+x^2}={1}$ , כלומר $\displaystyle {x^2}={\frac{1}{2}}$ ;
ברביע הראשון $\displaystyle x>0$ , ולכן $\displaystyle {x}={\frac{1}{\sqrt{2}}}={\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}

הזוויות

\displaystyle \frac{\pi}{6}

ו־

\displaystyle \frac{\pi}{3}

הנקודות $\displaystyle P\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ו־ $\displaystyle P\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ סימטריות ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$ . יחד עם הראשית $\displaystyle O$ הן קודקודים של משולש:

שתי צלעות שלו הן רדיוסים, באורך 1;
הזווית ביניהן היא $\displaystyle {\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}}={\frac{\pi}{3}}$ , כלומר $\displaystyle 60^{\circ}$ ;
לכן זה משולש שווה צלעות, והצלע השלישית – הקטע האנכי בין שתי הנקודות – גם היא באורך 1.

ציר ה־ $\displaystyle x$ חוצה את הקטע הזה, ולכן $\displaystyle {\sin\frac{\pi}{6}}={\frac{1}{2}}$ . מהזהות היסודית, $\displaystyle {\cos\frac{\pi}{6}}={\sqrt{1-\frac{1}{4}}}={\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

הנקודה $\displaystyle P\left(\frac{\pi}{3}\right)$ היא השיקוף של $\displaystyle P\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ביחס לישר $\displaystyle {y}={x}$ , ולכן שני השיעורים מתחלפים: $\displaystyle {\cos\frac{\pi}{3}}={\frac{1}{2}}$ , $\displaystyle {\sin\frac{\pi}{3}}={\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

טבלת הערכים

$\displaystyle t$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \sin t$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle \cos t$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle 0$

בשורת הסינוס הערכים עולים, ושורת הקוסינוס היא אותה שורה בסדר הפוך.

שיקופים לשאר הרביעים

בלוח: $\displaystyle {A}={P\left(\frac{\pi}{6}\right)}$ ושלושת השיקופים שלה.

$\displaystyle {B}={P\left(\frac{5\pi}{6}\right)}$ – השיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$ : $\displaystyle {\frac{5\pi}{6}}={\pi-\frac{\pi}{6}}$ ;
$\displaystyle {C}={P\left(\frac{7\pi}{6}\right)}$ – השיקוף ביחס לראשית: $\displaystyle {\frac{7\pi}{6}}={\pi+\frac{\pi}{6}}$ ;
$\displaystyle {D}={P\left(\frac{11\pi}{6}\right)}$ – השיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$ : $\displaystyle {\frac{11\pi}{6}}={2\pi-\frac{\pi}{6}}$ .

\displaystyle x^{2}+y^{2}=1

\displaystyle A=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})

\displaystyle B=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})

\displaystyle C=(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})

\displaystyle D=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})

לכל ארבע הנקודות אותם שיעורים בערך מוחלט, $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ ו־ $\displaystyle \frac{1}{2}$ . רק הסימנים משתנים, לפי הרביע:

$\displaystyle {\sin\frac{5\pi}{6}}={\frac{1}{2}}$ , $\displaystyle {\cos\frac{5\pi}{6}}={-\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ;
$\displaystyle {\sin\frac{7\pi}{6}}={-\frac{1}{2}}$ , $\displaystyle {\cos\frac{7\pi}{6}}={-\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ;
$\displaystyle {\sin\frac{11\pi}{6}}={-\frac{1}{2}}$ , $\displaystyle {\cos\frac{11\pi}{6}}={\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

ערך מדויק בשני צעדים

כדי למצוא ערך מדויק של $\displaystyle \sin t$ או של $\displaystyle \cos t$ :

כותבים את $\displaystyle t$ כ־ $\displaystyle \pi-\alpha$ , $\displaystyle \pi+\alpha$ או $\displaystyle 2\pi-\alpha$ , כאשר $\displaystyle \alpha$ הוא $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ או $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ – הערך בערך מוחלט הוא הערך של $\displaystyle \alpha$ ;
קובעים את הסימן לפי הרביע של $\displaystyle P(t)$ .

למשל, $\displaystyle {\frac{3\pi}{4}}={\pi-\frac{\pi}{4}}$ , ו־ $\displaystyle P\left(\frac{3\pi}{4}\right)$ ברביע השני, ולכן $\displaystyle {\cos\frac{3\pi}{4}}={-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

תרגיל 1

מצאו את הערך המדויק, בלי מחשבון.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

חשבו את הערך המדויק.

תרגיל 3

מחפשים את כל המספרים $\displaystyle t$ בין $\displaystyle 0$ ל־ $\displaystyle 2\pi$ שעבורם $\displaystyle {\sin t}={\frac{1}{2}}$ .
אלה המספרים שהנקודה שלהם על מעגל היחידה נמצאת בגובה $\displaystyle \frac{1}{2}$ .

בלוח: מעגל היחידה – החצי העליון $\displaystyle f$ והתחתון $\displaystyle g$ – והישר $\displaystyle h$ , $\displaystyle {y}={\frac{1}{2}}$ .
סמנו את הנקודות שבהן הישר פוגש את המעגל.

\displaystyle f(x)=\sqrt{1-x^{2}}

\displaystyle g(x)=-\sqrt{1-x^{2}}

\displaystyle h(x)=\frac{1}{2}

לאילו מספרים $\displaystyle t$ בין $\displaystyle 0$ ל־ $\displaystyle 2\pi$ שייכות הנקודות האלה? כתבו אותם.

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מעגל היחידה (רדיאנים)

מעגל היחידה
$\displaystyle x^2+y^2=1$
הנקודה של המספר $\displaystyle t$ על מעגל היחידה
$\displaystyle P(t)=(\cos t,\ \sin t)$
כל המספרים שמתאימים לאותה נקודה כמו $\displaystyle t$ ( $\displaystyle k$ שלם)
$\displaystyle t+2\pi k$
מעבר בין רדיאנים למעלות
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle \ell$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
שטח גזרה של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha R^2$

ערכים מיוחדים

$\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\quad\tan\frac{\pi}{4}=1,\quad\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

זהויות

הזהות היסודית
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \sin(\alpha+2\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \tan(\alpha+\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

גרפים של פונקציות טריגונומטריות

סינוס כללי (ובאותו אופן קוסינוס)
$\displaystyle y=A\sin(ax+b)+B$
המחזור של $\displaystyle \sin(ax+b)$ ושל $\displaystyle \cos(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$
הטווח של $\displaystyle A\sin(ax+b)+B$
$\displaystyle B-|A|\leq y\leq B+|A|$
המחזור של $\displaystyle \tan(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi}{|a|}$

משוואות טריגונומטריות ($k$ שלם)

הפתרונות של $\displaystyle {\sin x}={\sin\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+2\pi k,\quad x=\pi-\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\cos x}={\cos\alpha}$
$\displaystyle x=\pm\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\tan x}={\tan\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+\pi k$

טריגונומטריה במשולש (מעלות)

במשולש ישר זווית: $\displaystyle a$ הניצב מול $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle b$ הניצב שלידה, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad\cos\alpha=\frac{b}{c},\quad\tan\alpha=\frac{a}{b}$
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle b$ ו־ $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ ו־ $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד הצלע $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}$
משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם את המשולש)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle a$ ו־ $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$