דלג לתוכן

סימטריה ומחזוריות של הסינוס והקוסינוס

טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 5 מתוך 21לימוד

סימטריה ומחזוריות של הסינוס והקוסינוס

המחזור 2π\displaystyle 2\pi

המספרים t\displaystyle t ו־t+2πk\displaystyle t+2\pi k (k\displaystyle k שלם) מתאימים לאותה נקודה על מעגל היחידה, ולכן יש להם אותו סינוס ואותו קוסינוס:

sin⁡(t+2πk)\displaystyle \sin(t+2\pi k) =\displaystyle = sin⁡t\displaystyle \sin t
cos⁡(t+2πk)\displaystyle \cos(t+2\pi k) =\displaystyle = cos⁡t\displaystyle \cos t

פונקציה שחוזרת על ערכיה בכל פעם שמוסיפים ל־t\displaystyle t אותו מספר היא פונקציה מחזורית. המספר החיובי הקטן ביותר כזה הוא המחזור שלה: המחזור של sin⁡t\displaystyle \sin t ושל cos⁡t\displaystyle \cos t הוא 2π\displaystyle 2\pi.

לכן מספר גדול מקטינים בסיבובים שלמים:

  • sin⁡25π6=sin⁡(π6+4π)=sin⁡π6=12\displaystyle {\sin\frac{25\pi}{6}}={\sin\left(\frac{\pi}{6}+4\pi\right)}={\sin\frac{\pi}{6}}={\frac{1}{2}};
  • cos⁡(−17π3)=cos⁡(π3−6π)=cos⁡π3=12\displaystyle {\cos\left(-\frac{17\pi}{3}\right)}={\cos\left(\frac{\pi}{3}-6\pi\right)}={\cos\frac{\pi}{3}}={\frac{1}{2}}.
ארבעה שיקופים, ארבע זהויות

בלוח: הנקודה A=P(t)\displaystyle {A}={P(t)} – כאן t=0.6\displaystyle {t}={0.6} – והשיקופים שלה.

  • B=P(−t)\displaystyle {B}={P(-t)} – השיקוף ביחס לציר ה־x\displaystyle x: אותו x\displaystyle x, y\displaystyle y נגדי.
  • C=P(π−t)\displaystyle {C}={P(\pi-t)} – השיקוף ביחס לציר ה־y\displaystyle y: אותו y\displaystyle y, x\displaystyle x נגדי.
  • D=P(π+t)\displaystyle {D}={P(\pi+t)} – השיקוף ביחס לראשית: שני השיעורים נגדיים.
  • E=P(π2−t)\displaystyle {E}={P\left(\frac{\pi}{2}-t\right)} – השיקוף ביחס לישר y=x\displaystyle {y}={x}: השיעורים מתחלפים.
x2+y2=1\displaystyle x^{2}+y^{2}=1
y=x\displaystyle y=x
A=(cos⁡0.6,sin⁡0.6)\displaystyle A=(\cos0.6,\sin0.6)
B=(cos⁡0.6,−sin⁡0.6)\displaystyle B=(\cos0.6,-\sin0.6)
C=(−cos⁡0.6,sin⁡0.6)\displaystyle C=(-\cos0.6,\sin0.6)
D=(−cos⁡0.6,−sin⁡0.6)\displaystyle D=(-\cos0.6,-\sin0.6)
E=(sin⁡0.6,cos⁡0.6)\displaystyle E=(\sin0.6,\cos0.6)

השיקופים האלה קיימים לכל t\displaystyle t, בכל רביע, ולכן הזהויות שהם נותנים נכונות לכל t\displaystyle t:

−t\displaystyle -tπ−t\displaystyle \pi-tπ+t\displaystyle \pi+tπ2−t\displaystyle \frac{\pi}{2}-t
sin⁡\displaystyle \sin−sin⁡t\displaystyle -\sin tsin⁡t\displaystyle \sin t−sin⁡t\displaystyle -\sin tcos⁡t\displaystyle \cos t
cos⁡\displaystyle \coscos⁡t\displaystyle \cos t−cos⁡t\displaystyle -\cos t−cos⁡t\displaystyle -\cos tsin⁡t\displaystyle \sin t

למשל, sin⁡(π−t)=sin⁡t\displaystyle {\sin(\pi-t)}={\sin t} ו־cos⁡(−t)=cos⁡t\displaystyle {\cos(-t)}={\cos t}.

דוגמה: פישוט ביטוי

בדוגמה שלפניכם נפשט את הביטוי sin⁡(π−x)sin⁡(−x)+cos⁡(π+x)cos⁡(−x)\displaystyle \sin(\pi-x)\sin(-x)+\cos(\pi+x)\cos(-x).

  • לפי הזהויות: sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle {\sin(\pi-x)}={\sin x}, sin⁡(−x)=−sin⁡x\displaystyle {\sin(-x)}={-\sin x}, cos⁡(π+x)=−cos⁡x\displaystyle {\cos(\pi+x)}={-\cos x}, cos⁡(−x)=cos⁡x\displaystyle {\cos(-x)}={\cos x}.
  • הביטוי הוא sin⁡x⋅(−sin⁡x)+(−cos⁡x)⋅cos⁡x=−sin⁡2x−cos⁡2x\displaystyle {\sin x\cdot(-\sin x)+(-\cos x)\cdot\cos x}={-\sin^2x-\cos^2x}.
  • לפי הזהות היסודית זה −(sin⁡2x+cos⁡2x)=−1\displaystyle {-(\sin^2x+\cos^2x)}={-1}.

הביטוי שווה ל־−1\displaystyle -1 לכל x\displaystyle x.

תרגיל 1

מצאו את הערך המדויק: הקטינו קודם בסיבובים שלמים.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          כל ביטוי שווה למספר אחד לכל x\displaystyle x. פשטו אותו בעזרת הזהויות.

          א

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ד

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 3

                  כתבו את הביטוי בעזרת sin⁡x\displaystyle \sin x או cos⁡x\displaystyle \cos x בלבד.

                  א

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      תרגיל 4

                      דני טוען: “sin⁡(x+π)=sin⁡x\displaystyle {\sin(x+\pi)}={\sin x} לכל x\displaystyle x, כי הוספת π\displaystyle \pi היא חצי סיבוב”.
                      האם הוא צודק? הסבירו בעזרת מעגל היחידה, ובדקו ב־x=π2\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}}.