פונקציית הטנגנס

הישר $\displaystyle {x}={1}$ נוגע במעגל היחידה בנקודה $\displaystyle (1,0)$: הוא משיק למעגל. הקרן מהראשית דרך $\displaystyle P(t)$, אם ממשיכים אותה, פוגשת את המשיק בנקודה $\displaystyle T$.

הטנגנס של $\displaystyle t$, $\displaystyle \tan t$, הוא שיעור ה־$\displaystyle y$ של $\displaystyle T$.

בלוח: מעגל היחידה, המשיק $\displaystyle {x}={1}$, $\displaystyle {P}={P(0.9)}$, והקרן דרכה עד $\displaystyle T$. כשהנקודה $\displaystyle P$ נמצאת על ציר ה־$\displaystyle y$, כלומר $\displaystyle {t}={\frac{\pi}{2}+\pi k}$, הקרן מקבילה למשיק ולא פוגשת אותו: שם אין ל־$\displaystyle t$ טנגנס.

המשולשים $\displaystyle OQP$ ו־$\displaystyle O(1,0)T$ שבלוח דומים: לשניהם זווית ישרה וזווית משותפת ב־$\displaystyle O$. לכן הצלעות שלהם באותו יחס:

• ב־$\displaystyle OQP$: הניצב האנכי $\displaystyle \sin t$ והניצב האופקי $\displaystyle \cos t$;
• ב־$\displaystyle O(1,0)T$: הניצב האנכי $\displaystyle \tan t$ והניצב האופקי $\displaystyle 1$.

השוויון נכון בכל רביע, לכל $\displaystyle t$ שבו $\displaystyle \cos t\neq0$.

מהמנה ומטבלת הערכים:

• הסימן: הטנגנס חיובי ברביע הראשון והשלישי (לסינוס ולקוסינוס אותו סימן), ושלילי בשני וברביעי.
• $\displaystyle P(t+\pi)$ היא השיקוף של $\displaystyle P(t)$ ביחס לראשית: אותה קרן, אותה נקודה $\displaystyle T$. לכן המחזור של הטנגנס הוא $\displaystyle \pi$: $\displaystyle {\tan(t+\pi)}={\tan t}$.
• $\displaystyle {\tan(-t)}={\frac{-\sin t}{\cos t}}={-\tan t}$: הטנגנס פונקציה אי־זוגית.

בלוח: $\displaystyle {y}={\tan x}$, והישרים המקווקווים $\displaystyle {x}={\pm\frac{\pi}{2}}$, $\displaystyle {x}={\pm\frac{3\pi}{2}}$.

• תחום הגדרה: $\displaystyle x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k$; טווח: כל המספרים.
• כש־$\displaystyle x$ מתקרב ל־$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ משמאל, $\displaystyle \cos x$ קרוב ל־$\displaystyle 0$ וחיובי, ו־$\displaystyle \tan x$ גדל בלי גבול; מימין – יורד בלי גבול. הישר $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}}$ הוא אסימפטוטה אנכית, ואחריו – כל $\displaystyle \pi$ – עוד אחת.
• בין שתי אסימפטוטות הגרף עולה כל הזמן.
• נקודות אפס: $\displaystyle {x}={\pi k}$.

נחלק את שני האגפים של $\displaystyle {\sin^2t+\cos^2t}={1}$ ב־$\displaystyle \cos^2t$ (כאשר $\displaystyle \cos t\neq0$):

בעזרתה עוברים מטנגנס לקוסינוס. למשל, אם $\displaystyle {\tan t}={\frac{3}{4}}$ ו־$\displaystyle P(t)$ ברביע הראשון: $\displaystyle {\frac{1}{\cos^2t}}={1+\frac{9}{16}}={\frac{25}{16}}$, ולכן $\displaystyle {\cos t}={\frac{4}{5}}$ ו־$\displaystyle {\sin t}={\tan t\cdot\cos t}={\frac{3}{5}}$.

מצאו את הערך המדויק.

$\displaystyle {\tan t}={2}$, והנקודה $\displaystyle P(t)$ ברביע השלישי.

$\displaystyle x$ הוא $\displaystyle \cos t$. פתרו את המשוואה שהזהות $\displaystyle {1+\tan^2t}={\frac{1}{\cos^2t}}$ נותנת.

מהו $\displaystyle \cos t$, ומהו $\displaystyle \sin t$? הסבירו את הסימנים.

כתבו את הביטוי כפונקציה טריגונומטרית אחת של $\displaystyle x$.

סמנו בלוח את כל נקודות האפס של $\displaystyle {y}={\tan x}$ שבתחום המוצג.