פתרון בעיות בגאומטריה בעזרת טריגונומטריה

בעיה במצולע פותרים במשולשים שבתוכו – אלכסון, גובה או רדיוס יוצרים אותם. בכל משולש בוחרים את המשפט לפי מה שידוע:

• זוג של צלע והזווית שמולה, ועוד צלע או זווית – משפט הסינוסים;
• שתי צלעות והזווית שביניהן, או שלוש צלעות – משפט הקוסינוסים;
• זווית ישרה – היחסים במשולש ישר זווית.

צלע משותפת לשני משולשים מעבירה את החישוב מאחד לשני.

במרובע $\displaystyle ABCD$: $\displaystyle {AB}={3}$, $\displaystyle {AD}={5}$, $\displaystyle {\angle A}={120^{\circ}}$.
$\displaystyle {\angle BCD}={90^{\circ}}$, ו־$\displaystyle {\angle DBC}={30^{\circ}}$.
האלכסון $\displaystyle BD$ מחלק את המרובע למשולש $\displaystyle ABD$, שבו ידועות שתי צלעות והזווית ביניהן, ולמשולש ישר הזווית $\displaystyle BCD$.

מצולע משוכלל בעל $\displaystyle n$ צלעות חסום במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$. כל צלע נשענת על זווית מרכזית של $\displaystyle \frac{360^{\circ}}{n}$, והזווית ההיקפית מולה היא חצי ממנה, $\displaystyle \frac{180^{\circ}}{n}$. ממשפט הסינוסים במשולש של שלושה קודקודים סמוכים:

במשושה: $\displaystyle {a}={2R\sin30^{\circ}}={R}$.
חשבו את הצלע של מתומן משוכלל החסום במעגל שרדיוסו $\displaystyle 10$. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

לפעמים חסר נתון: כותבים אותו כפרמטר, ומבטאים בעזרתו את התוצאה.

במשולש שווה שוקיים השוקיים באורך $\displaystyle a$ וזווית הראש $\displaystyle \alpha$.

• כתבו את הבסיס ואת השטח בעזרת $\displaystyle a$ ו־$\displaystyle \alpha$.
• באיזו זווית ראש השטח הגדול ביותר? הסבירו לפי הטווח של הסינוס, בלי לגזור.
• בדקו את התשובה: האם יחידות המידה של השטח שקיבלתם הן יחידות של שטח?

כשיש יותר נתונים מהנדרש, בודקים שאינם סותרים זה את זה; וגם שלושה נתונים לא תמיד מתאימים למשולש.

במשולש: $\displaystyle {a}={4}$, $\displaystyle {\alpha}={30^{\circ}}$, $\displaystyle {b}={10}$.
$\displaystyle x$ היא הזווית מול $\displaystyle b$. פתרו את המשוואה שמשפט הסינוסים נותן. האם יש משולש כזה?

טריגונומטריה מוכיחה גם משפטים. בשרטוט: $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ במשולש $\displaystyle ABC$, ו־$\displaystyle D$ על $\displaystyle BC$.
ההוכחה שלפניכם מראה ש־$\displaystyle {\frac{BD}{DC}}={\frac{AB}{AC}}$ – משפט חוצה הזווית – בעזרת השטחים של שני המשולשים $\displaystyle ABD$ ו־$\displaystyle ADC$.

• בנוסחת השטח: $\displaystyle {S_{ABD}}={\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\alpha}$ ו־$\displaystyle {S_{ADC}}={\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin\alpha}$, ולכן $\displaystyle {\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac{AB}{AC}}$.
• לשני המשולשים אותו גובה מ־$\displaystyle A$ אל $\displaystyle BC$, ולכן $\displaystyle {\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac{BD}{DC}}$.
• שני היחסים שווים לאותו יחס שטחים: $\displaystyle {\frac{BD}{DC}}={\frac{AB}{AC}}$.

במשולש $\displaystyle ABC$ הנקודה $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle BC$.
$\displaystyle {\angle BAD}={\alpha}$ ו־$\displaystyle {\angle DAC}={\beta}$.
הוכיחו בעזרת נוסחת השטח: $\displaystyle {\frac{BD}{DC}}={\frac{AB\sin\alpha}{AC\sin\beta}}$.