מעגל היחידה: ליפוף מספר על המעגל

טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 1 מתוך 21לימוד

מעגל היחידה: ליפוף מספר על המעגל

מעגל היחידה

מעגל היחידה הוא המעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. משוואתו:

\displaystyle x^2+y^2=1

היקף של מעגל שרדיוסו $\displaystyle R$ הוא $\displaystyle 2\pi R$ , ולכן ההיקף של מעגל היחידה הוא $\displaystyle 2\pi$ – בערך $\displaystyle 6.28$ .

בלוח: מעגל היחידה, והנקודות שבהן הוא חותך את הצירים – $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ , $\displaystyle D$ .

\displaystyle x^{2}+y^{2}=1

\displaystyle A=(1,0)

\displaystyle B=(0,1)

\displaystyle C=(-1,0)

\displaystyle D=(0,-1)

ליפוף מספר על המעגל

לכל מספר ממשי $\displaystyle t$ מתאימה נקודה אחת על מעגל היחידה, $\displaystyle P(t)$ . כדי למצוא אותה מתחילים בנקודה $\displaystyle A(1,0)$ , והולכים לאורך המעגל קשת שאורכה $\displaystyle |t|$ :

כש־ $\displaystyle t>0$ – נגד כיוון השעון;
כש־ $\displaystyle t<0$ – עם כיוון השעון;
כש־ $\displaystyle {t}={0}$ – נשארים ב־ $\displaystyle A$ .

רבע מעגל הוא קשת שאורכה $\displaystyle {\frac{2\pi}{4}}={\frac{\pi}{2}}$ . לכן:

$\displaystyle {P\left(\frac{\pi}{2}\right)}={B(0,1)}$ – רבע סיבוב;
$\displaystyle {P(\pi)}={C(-1,0)}$ – חצי סיבוב;
$\displaystyle {P\left(\frac{3\pi}{2}\right)}={D(0,-1)}$ – שלושה רבעים;
$\displaystyle {P(2\pi)}={A(1,0)}$ – סיבוב שלם, חזרה להתחלה;
$\displaystyle {P\left(-\frac{\pi}{2}\right)}={D(0,-1)}$ – רבע סיבוב עם כיוון השעון.

אותה נקודה, אינסוף מספרים

כל נקודה על המעגל מתאימה לאינסוף מספרים: סיבוב שלם נוסף, בכל כיוון, מחזיר לאותה נקודה. אם הנקודה מתאימה למספר $\displaystyle t$ , היא מתאימה גם לכל המספרים

\displaystyle t+2\pi k

כאשר $\displaystyle k$ מספר שלם ( $\displaystyle {k}={0,\ \pm1,\ \pm2,\ \dots}$ ).

$\displaystyle {k}={1}$ – עוד סיבוב נגד כיוון השעון;
$\displaystyle {k}={-1}$ – סיבוב אחד עם כיוון השעון;
$\displaystyle {k}={3}$ – עוד שלושה סיבובים.

דוגמה: שתי נקודות

בדוגמה שלפניכם נמצא את הנקודות $\displaystyle P\left(\frac{9\pi}{4}\right)$ ו־ $\displaystyle P\left(-\frac{5\pi}{2}\right)$ .

$\displaystyle {\frac{9\pi}{4}}={\frac{\pi}{4}+2\pi}$ : סיבוב שלם ועוד $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ – חצי מהדרך מ־ $\displaystyle A$ ל־ $\displaystyle B$ . זו הנקודה $\displaystyle P$ בלוח, באמצע הקשת שברביע הראשון.
$\displaystyle {-\frac{5\pi}{2}}={-\frac{\pi}{2}-2\pi}$ : סיבוב שלם עם כיוון השעון ועוד רבע סיבוב. זו הנקודה $\displaystyle {Q}={D(0,-1)}$ .

\displaystyle x^{2}+y^{2}=1

\displaystyle P=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})

\displaystyle Q=(0,-1)

באיזה רביע הנקודה

הצירים מחלקים את המעגל לארבעה רבעים. מספר בין $\displaystyle 0$ ל־ $\displaystyle 2\pi$ נמצא:

בין $\displaystyle 0$ ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ – ברביע הראשון;
בין $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ל־ $\displaystyle \pi$ – ברביע השני;
בין $\displaystyle \pi$ ל־ $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$ – ברביע השלישי;
בין $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$ ל־ $\displaystyle 2\pi$ – ברביע הרביעי.

מספר שאינו כתוב בעזרת $\displaystyle \pi$ משווים לערכים $\displaystyle \frac{\pi}{2}\approx1.57$ , $\displaystyle \pi\approx3.14$ , $\displaystyle \frac{3\pi}{2}\approx4.71$ , $\displaystyle 2\pi\approx6.28$ . למשל, $\displaystyle {t}={2}$ נמצא בין $\displaystyle 1.57$ ל־ $\displaystyle 3.14$ , ולכן $\displaystyle P(2)$ ברביע השני.

תרגיל 1

כל המספרים שמתאימים לאותה נקודה כמו $\displaystyle t$ הם $\displaystyle {x}={t+2\pi k}$ .
מצאו את המספר מביניהם שנמצא בין $\displaystyle 0$ ל־ $\displaystyle 2\pi$ .

תרגיל 2

באיזה רביע נמצאת הנקודה?
$\displaystyle P(4)$ , $\displaystyle P(-1)$ , $\displaystyle P(10)$ .
כתבו לכל נקודה את הרביע שלה, ואיך מצאתם אותו.

תרגיל 3

נמלה הולכת על מעגל היחידה נגד כיוון השעון, ומתחילה בנקודה $\displaystyle A(1,0)$ .
היא הולכת בדיוק $\displaystyle 20$ יחידות אורך.

כמה סיבובים היא עושה?
עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה (השורה האחרונה מתחילה ב־ $\displaystyle \approx$ ).

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

באיזה רביע היא עוצרת?

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מעגל היחידה (רדיאנים)

מעגל היחידה
$\displaystyle x^2+y^2=1$
הנקודה של המספר $\displaystyle t$ על מעגל היחידה
$\displaystyle P(t)=(\cos t,\ \sin t)$
כל המספרים שמתאימים לאותה נקודה כמו $\displaystyle t$ ( $\displaystyle k$ שלם)
$\displaystyle t+2\pi k$
מעבר בין רדיאנים למעלות
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle \ell$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
שטח גזרה של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha R^2$

ערכים מיוחדים

$\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\quad\tan\frac{\pi}{4}=1,\quad\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

זהויות

הזהות היסודית
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \sin(\alpha+2\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \tan(\alpha+\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

גרפים של פונקציות טריגונומטריות

סינוס כללי (ובאותו אופן קוסינוס)
$\displaystyle y=A\sin(ax+b)+B$
המחזור של $\displaystyle \sin(ax+b)$ ושל $\displaystyle \cos(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$
הטווח של $\displaystyle A\sin(ax+b)+B$
$\displaystyle B-|A|\leq y\leq B+|A|$
המחזור של $\displaystyle \tan(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi}{|a|}$

משוואות טריגונומטריות ($k$ שלם)

הפתרונות של $\displaystyle {\sin x}={\sin\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+2\pi k,\quad x=\pi-\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\cos x}={\cos\alpha}$
$\displaystyle x=\pm\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\tan x}={\tan\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+\pi k$

טריגונומטריה במשולש (מעלות)

במשולש ישר זווית: $\displaystyle a$ הניצב מול $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle b$ הניצב שלידה, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad\cos\alpha=\frac{b}{c},\quad\tan\alpha=\frac{a}{b}$
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle b$ ו־ $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ ו־ $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד הצלע $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}$
משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם את המשולש)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle a$ ו־ $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$