חזרה: משוואות טריגונומטריות בסיסיות

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 2 מתוך 18לימוד

חזרה: משוואות טריגונומטריות בסיסיות

הפתרון הכללי

למשוואה טריגונומטרית יש אינסוף פתרונות, כי הפונקציות חוזרות על עצמן. הפתרון הכללי כותב את כולם בעזרת מספר שלם $\displaystyle k$ :

$\displaystyle {\sin x}={a}$ (כש- $\displaystyle -1\le a\le1$ ): שתי זוויות באותו גובה על מעגל היחידה, $\displaystyle \alpha$ ו- $\displaystyle \pi-\alpha$ .

\displaystyle x=\alpha+2\pi k\quad\text{or}\quad x=\pi-\alpha+2\pi k

$\displaystyle {\cos x}={a}$ : שתי זוויות סימטריות ביחס לציר ה- $\displaystyle x$ , $\displaystyle \alpha$ ו- $\displaystyle -\alpha$ .

\displaystyle x

\displaystyle =

\displaystyle \pm\alpha+2\pi k

$\displaystyle {\tan x}={a}$ : זווית אחת בכל חצי סיבוב.

\displaystyle x

\displaystyle =

\displaystyle \alpha+\pi k

כאן $\displaystyle \alpha$ היא זווית אחת שהערך שלה $\displaystyle a$ , ו- $\displaystyle k$ הוא מספר שלם כלשהו.

\displaystyle {\sin f(x)}={\sin g(x)}

אותו רעיון עובד כששני האגפים הם סינוס של ביטויים:

$\displaystyle {\sin f(x)}={\sin g(x)}$ : $\displaystyle {f(x)}={g(x)+2\pi k}$ או $\displaystyle {f(x)}={\pi-g(x)+2\pi k}$ .
$\displaystyle {\cos f(x)}={\cos g(x)}$ : $\displaystyle {f(x)}={\pm g(x)+2\pi k}$ .
$\displaystyle {\tan f(x)}={\tan g(x)}$ : $\displaystyle {f(x)}={g(x)+\pi k}$ .

דוגמה: $\displaystyle {\cos3x}={\cos x}$ .

$\displaystyle {3x}={x+2\pi k}$ או $\displaystyle {3x}={-x+2\pi k}$ .
$\displaystyle {x}={\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\frac{\pi k}{2}}$ .
כל כפולה של $\displaystyle \pi$ היא גם כפולה של $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ , ולכן הפתרון: $\displaystyle {x}={\frac{\pi k}{2}}$ .

זווית כפולה בתוך הסינוס

כשבתוך הפונקציה יש $\displaystyle 2x$ , פותרים קודם בשביל $\displaystyle 2x$ ורק אחר כך מחלקים – גם את $\displaystyle 2\pi k$ :

$\displaystyle {\sin2x}={\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\displaystyle {2x}={\frac{\pi}{3}+2\pi k}$ או $\displaystyle {2x}={\frac{2\pi}{3}+2\pi k}$ .
$\displaystyle {x}={\frac{\pi}{6}+\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{3}+\pi k}$ .

אחרי החלוקה המחזור קטן ל- $\displaystyle \pi$ : בכל סיבוב שלם יש ארבעה פתרונות.

מעלות, ופונקציה הפוכה

במעלות כותבים $\displaystyle 360^\circ$ במקום $\displaystyle 2\pi$ ו- $\displaystyle 180^\circ$ במקום $\displaystyle \pi$ : הפתרון של $\displaystyle {\sin x}={\frac{1}{2}}$ הוא $\displaystyle {x}={30^\circ+360^\circ k}$ או $\displaystyle {x}={150^\circ+360^\circ k}$ .
כשהערך אינו מהטבלה, הזווית $\displaystyle \alpha$ נכתבת בעזרת הפונקציה ההפוכה. הפתרון של $\displaystyle {\sin x}={\frac{1}{3}}$ : $\displaystyle {x}={\sin^{-1}\frac{1}{3}+2\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\pi-\sin^{-1}\frac{1}{3}+2\pi k}$ .
את המספר מוצאים במחשבון (במצב רדיאנים): $\displaystyle \sin^{-1}\frac{1}{3}\approx0.34$ .

תרגיל 1

פתרו.

תרגיל 2

פתרו.

תרגיל 3

פתרו.

תרגיל 4

פתרו.

תרגיל 5

פתרו במעלות.

תרגיל 6

פתרו. כתבו את הפתרון בעזרת $\displaystyle \cos^{-1}$ .

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

זהויות בסיסיות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
הטנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$

סכום והפרש של זוויות

$\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

זווית כפולה

$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha$
$\displaystyle \tan2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$
$\displaystyle \cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2\alpha}{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2\alpha}{2}$

סכום והפרש של סינוסים ושל קוסינוסים

$\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha+\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

משוואות – הפתרון הכללי ($k$ שלם)

$\displaystyle \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2\pi k\ \text{or}\ x=\pi-\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+\pi k$

משולש

משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית שבין $\displaystyle a$ ל- $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot\cos\gamma$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית שבין $\displaystyle b$ ל- $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}b\cdot c\cdot\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{2}\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}{2\cdot\sin(\beta+\gamma)}$

מעגל ($\alpha$ ברדיאנים, $R$ – רדיוס)

שטח עיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$
היקף מעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
אורך קשת
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha\cdot R$
שטח גזרה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha\cdot R^{2}$

גופים ($S$ – שטח הבסיס, $h$ – גובה, $l$ – קו יוצר)

נפח מנסרה וגליל
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
המעטפת של חרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\cdot l$
נפח כדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^{3}$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^{2}$