דלג לתוכן

הזווית הכפולה

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 5 מתוך 18לימוד

הזווית הכפולה

נוסחאות הזווית הכפולה

נציב β=α\displaystyle {\beta}={\alpha} בנוסחאות הסכום:

  • sin⁡(α+α)=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α\displaystyle {\sin(\alpha+\alpha)}={\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha}:
sin⁡2α\displaystyle \sin2\alpha =\displaystyle = 2sin⁡α⋅cos⁡α\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha
  • cos⁡(α+α)=cos⁡αcos⁡α−sin⁡αsin⁡α\displaystyle {\cos(\alpha+\alpha)}={\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha}. עם sin⁡2α=1−cos⁡2α\displaystyle {\sin^2\alpha}={1-\cos^2\alpha} או cos⁡2α=1−sin⁡2α\displaystyle {\cos^2\alpha}={1-\sin^2\alpha} מתקבלות עוד שתי צורות:
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha
  • tan⁡(α+α)\displaystyle \tan(\alpha+\alpha):
tan⁡2α\displaystyle \tan2\alpha =\displaystyle = 2tan⁡α1−tan⁡2α\displaystyle \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

בוחרים את הצורה של cos⁡2α\displaystyle \cos2\alpha לפי מה שידוע או לפי מה שרוצים שיישאר: רק cos⁡α\displaystyle \cos\alpha, רק sin⁡α\displaystyle \sin\alpha, או שניהם.

מ-sin⁡α\displaystyle \sin\alpha ל-sin⁡2α\displaystyle \sin2\alpha

sin⁡α=35\displaystyle {\sin\alpha}={\frac{3}{5}}, והזווית α\displaystyle \alpha ברביע השני.

  • cos⁡α=−45\displaystyle {\cos\alpha}={-\frac{4}{5}}.
  • sin⁡2α=2⋅35⋅(−45)=−2425\displaystyle {\sin2\alpha}={2\cdot\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)}={-\frac{24}{25}}.
  • cos⁡2α=1−2sin⁡2α=1−2⋅925=725\displaystyle {\cos2\alpha}={1-2\sin^2\alpha}={1-2\cdot\frac{9}{25}}={\frac{7}{25}} – כאן לא צריך את cos⁡α\displaystyle \cos\alpha.
הורדת חזקה

נבודד את cos⁡2α\displaystyle \cos^2\alpha ואת sin⁡2α\displaystyle \sin^2\alpha מתוך cos⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\displaystyle {\cos2\alpha}={2\cos^2\alpha-1}={1-2\sin^2\alpha}:

cos⁡2α\displaystyle \cos^2\alpha =\displaystyle = 1+cos⁡2α2\displaystyle \frac{1+\cos2\alpha}{2}
sin⁡2α\displaystyle \sin^2\alpha =\displaystyle = 1−cos⁡2α2\displaystyle \frac{1-\cos2\alpha}{2}

ריבוע של סינוס או של קוסינוס הופך לביטוי בלי ריבוע, עם הזווית הכפולה. כך מקבלים גם ערכים של חצי זווית:

cos⁡2π8=1+cos⁡π42=2+24\displaystyle {\cos^2\frac{\pi}{8}}={\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}}={\frac{2+\sqrt{2}}{4}}, ולכן cos⁡π8=2+22\displaystyle {\cos\frac{\pi}{8}}={\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}} (הזווית חדה, והקוסינוס חיובי).

תרגיל 1

חשבו בלי מחשבון.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    חשבו בלי מחשבון.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 3

      sin⁡α=13\displaystyle {\sin\alpha}={\frac{1}{3}}, והזווית α\displaystyle \alpha חדה: α=sin⁡−113\displaystyle {\alpha}={\sin^{-1}\frac{1}{3}}.
      חשבו את cos⁡2α\displaystyle \cos2\alpha.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 4

        tan⁡α=3\displaystyle {\tan\alpha}={3}, והזווית α\displaystyle \alpha חדה.
        חשבו את tan⁡2α\displaystyle \tan2\alpha.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 5

          פשטו עד שתגיעו ל-tan⁡x\displaystyle \tan x.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 6

            פשטו עד שתגיעו ל-cos⁡2x\displaystyle \cos2x. רמז: הפרש ריבועים.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 7

              כתבו את sin⁡3x\displaystyle \sin3x בעזרת sin⁡x\displaystyle \sin x בלבד, עד שתגיעו ל-3sin⁡x−4sin⁡3x\displaystyle 3\sin x-4\sin^3x. רמז: 3x=2x+x\displaystyle {3x}={2x+x}.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה