פתרונות בקטע נתון

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 11 מתוך 18לימוד

פתרונות בקטע נתון

הצבת ערכים של

\displaystyle k

כשמבקשים את הפתרונות בקטע, כותבים קודם את הפתרון הכללי, ואז מציבים $\displaystyle {k}={0, 1, 2, \ldots}$ (וגם $\displaystyle {k}={-1, -2, \ldots}$ ) ושומרים רק את מה שבתוך הקטע.

$\displaystyle {\sin2x}={\frac{1}{2}}$ , בקטע $\displaystyle 0\le x\le2\pi$ .

$\displaystyle {x}={\frac{\pi}{12}+\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\frac{5\pi}{12}+\pi k}$ .
$\displaystyle {k}={0}$ : $\displaystyle \frac{\pi}{12}$ , $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$ . $\displaystyle {k}={1}$ : $\displaystyle \frac{13\pi}{12}$ , $\displaystyle \frac{17\pi}{12}$ . $\displaystyle {k}={2}$ כבר יוצא מהקטע, וגם $\displaystyle {k}={-1}$ .
ארבעה פתרונות: $\displaystyle \frac{\pi}{12}$ , $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$ , $\displaystyle \frac{13\pi}{12}$ , $\displaystyle \frac{17\pi}{12}$ .

בדיקה: למחזור של $\displaystyle \sin2x$ אורך $\displaystyle \pi$ , ובכל מחזור יש שני פתרונות – בקטע שאורכו $\displaystyle 2\pi$ יש ארבעה.

תחום ההגדרה של

\displaystyle \tan x

משוואה עם $\displaystyle \tan x$ מוגדרת רק כש- $\displaystyle \cos x\neq0$ . פתרון שבו $\displaystyle {\cos x}={0}$ – נפסל.

$\displaystyle {\tan x}={\sin2x}$ , בקטע $\displaystyle 0\le x\le\pi$ .

$\displaystyle {\frac{\sin x}{\cos x}}={2\sin x\cos x}$ , ולכן $\displaystyle {\sin x}={2\sin x\cos^2x}$ (כפל ב- $\displaystyle \cos x\neq0$ ).
$\displaystyle {\sin x(1-2\cos^2x)}={0}$ , כלומר $\displaystyle {\sin x}={0}$ או $\displaystyle {\cos2x}={0}$ .
בקטע: $\displaystyle {x}={0}$ , $\displaystyle {x}={\pi}$ , $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{4}}$ , $\displaystyle {x}={\frac{3\pi}{4}}$ . באף אחד מהם $\displaystyle {\cos x}={0}$ , ולכן כולם פתרונות.

העלאה בריבוע

העלאה בריבוע של שני האגפים עלולה להוסיף פתרונות: גם $\displaystyle {a}={-b}$ נותן $\displaystyle {a^2}={b^2}$ . לכן אחרי העלאה בריבוע חייבים לבדוק כל פתרון במשוואה המקורית – או לבחור דרך אחרת.

$\displaystyle {\sin x+\cos x}={1}$ : בריבוע מקבלים $\displaystyle {1+\sin2x}={1}$ , כלומר $\displaystyle {\sin2x}={0}$ , ו- $\displaystyle {x}={\frac{\pi k}{2}}$ . אבל $\displaystyle {x}={\pi}$ נותן $\displaystyle {0+(-1)}={-1}$ – הוא לא פתרון. בדרך של סינוס אחד אין צורך בבדיקה: $\displaystyle {\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}={1}$ .

תרגיל 1

פתרו בקטע $\displaystyle 0\le x\le2\pi$ .

תרגיל 2

פתרו בקטע $\displaystyle 0\le x\le2\pi$ .

תרגיל 3

פתרו בקטע $\displaystyle 0\le x\le2\pi$ .

תרגיל 4

פתרו במעלות, בקטע $\displaystyle 0^\circ\le x\le360^\circ$ .

תרגיל 5

פתרו בקטע $\displaystyle 0\le x\le\frac{3\pi}{4}$ .

תרגיל 6

כמה פתרונות יש למשוואה $\displaystyle {\cos3x}={\frac{1}{2}}$ בקטע $\displaystyle 0\le x\le2\pi$ ? הסבירו בלי למצוא אותם.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

זהויות בסיסיות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
הטנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$

סכום והפרש של זוויות

$\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

זווית כפולה

$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha$
$\displaystyle \tan2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$
$\displaystyle \cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2\alpha}{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2\alpha}{2}$

סכום והפרש של סינוסים ושל קוסינוסים

$\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha+\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

משוואות – הפתרון הכללי ($k$ שלם)

$\displaystyle \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2\pi k\ \text{or}\ x=\pi-\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+\pi k$

משולש

משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית שבין $\displaystyle a$ ל- $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot\cos\gamma$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית שבין $\displaystyle b$ ל- $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}b\cdot c\cdot\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{2}\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}{2\cdot\sin(\beta+\gamma)}$

מעגל ($\alpha$ ברדיאנים, $R$ – רדיוס)

שטח עיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$
היקף מעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
אורך קשת
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha\cdot R$
שטח גזרה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha\cdot R^{2}$

גופים ($S$ – שטח הבסיס, $h$ – גובה, $l$ – קו יוצר)

נפח מנסרה וגליל
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
המעטפת של חרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\cdot l$
נפח כדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^{3}$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^{2}$