משוואות בעזרת זהויות

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 9 מתוך 18לימוד

משוואות בעזרת זהויות

הדרך לפתרון

משוואה טריגונומטרית מסובכת פותרים בשני שלבים:

בעזרת זהויות מביאים אותה לפונקציה אחת של זווית אחת – $\displaystyle \sin x$ , $\displaystyle \cos x$ או $\displaystyle \tan x$ – או למכפלה שווה $\displaystyle 0$ .
פותרים משוואות בסיסיות ( $\displaystyle {\sin x}={a}$ ודומותיה) וכותבים את הפתרון הכללי.

משוואה ריבועית ב-

\displaystyle \sin x

בדוגמה שלפניכם נחליף את $\displaystyle \cos^2x$ ב- $\displaystyle 1-\sin^2x$ , כדי שתישאר פונקציה אחת.

$\displaystyle {2\cos^2x+3\sin x-3}={0}$

$\displaystyle {2(1-\sin^2x)+3\sin x-3}={0}$ , כלומר $\displaystyle {2\sin^2x-3\sin x+1}={0}$ .
זו משוואה ריבועית ב- $\displaystyle \sin x$ : $\displaystyle {\sin x}={1}$ או $\displaystyle {\sin x}={\frac{1}{2}}$ .
$\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}+2\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{6}+2\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\frac{5\pi}{6}+2\pi k}$ .

פתרון ריבועי שאינו בין $\displaystyle -1$ ל- $\displaystyle 1$ (למשל $\displaystyle {\sin x}={2}$ ) אינו נותן פתרונות.

זווית כפולה ופירוק

$\displaystyle {\sin2x}={\cos x}$

$\displaystyle {2\sin x\cos x-\cos x}={0}$ , כלומר $\displaystyle {\cos x(2\sin x-1)}={0}$ .
$\displaystyle {\cos x}={0}$ או $\displaystyle {\sin x}={\frac{1}{2}}$ .
$\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}+\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{6}+2\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\frac{5\pi}{6}+2\pi k}$ .

זהירות: אם מחלקים את $\displaystyle {2\sin x\cos x}={\cos x}$ ב- $\displaystyle \cos x$ , הפתרונות שבהם $\displaystyle {\cos x}={0}$ הולכים לאיבוד. מוציאים גורם משותף – לא מחלקים.

משוואה הומוגנית

במשוואה הומוגנית לכל המחוברים אותה מעלה ב- $\displaystyle \sin x$ וב- $\displaystyle \cos x$ יחד, כמו $\displaystyle {2\sin^2x-3\sin x\cos x+\cos^2x}={0}$ . כאן מותר לחלק ב- $\displaystyle \cos^2x$ : אילו $\displaystyle {\cos x}={0}$ , המשוואה הייתה נותנת $\displaystyle {2\sin^2x}={0}$ , אבל $\displaystyle \sin x$ ו- $\displaystyle \cos x$ אינם מתאפסים יחד.

$\displaystyle {2\tan^2x-3\tan x+1}={0}$ .
$\displaystyle {\tan x}={1}$ או $\displaystyle {\tan x}={\frac{1}{2}}$ .
$\displaystyle {x}={\frac{\pi}{4}+\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\tan^{-1}\frac{1}{2}+\pi k}$ .

\displaystyle {a\sin x+b\cos x}={c}

כותבים את האגף השמאלי כסינוס אחד, כמו בשיעור על נוסחאות הסכום:

$\displaystyle {\sin x+\sqrt{3}\cos x}={1}$

$\displaystyle {2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}={1}$ , כלומר $\displaystyle {\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}={\frac{1}{2}}$ .
$\displaystyle {x+\frac{\pi}{3}}={\frac{\pi}{6}+2\pi k}$ או $\displaystyle {x+\frac{\pi}{3}}={\frac{5\pi}{6}+2\pi k}$ .
$\displaystyle {x}={-\frac{\pi}{6}+2\pi k}$ או $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}+2\pi k}$ .

תרגיל 1

פתרו.

תרגיל 2

פתרו.

תרגיל 3

פתרו. רמז: איזו צורה של $\displaystyle \cos2x$ משאירה רק את $\displaystyle \sin x$ ?

תרגיל 4

פתרו.

תרגיל 5

פתרו.

תרגיל 6

פתרו.

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

זהויות בסיסיות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
הטנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$

סכום והפרש של זוויות

$\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

זווית כפולה

$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha$
$\displaystyle \tan2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$
$\displaystyle \cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2\alpha}{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2\alpha}{2}$

סכום והפרש של סינוסים ושל קוסינוסים

$\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha+\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

משוואות – הפתרון הכללי ($k$ שלם)

$\displaystyle \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2\pi k\ \text{or}\ x=\pi-\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+\pi k$

משולש

משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית שבין $\displaystyle a$ ל- $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot\cos\gamma$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית שבין $\displaystyle b$ ל- $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}b\cdot c\cdot\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{2}\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}{2\cdot\sin(\beta+\gamma)}$

מעגל ($\alpha$ ברדיאנים, $R$ – רדיוס)

שטח עיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$
היקף מעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
אורך קשת
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha\cdot R$
שטח גזרה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha\cdot R^{2}$

גופים ($S$ – שטח הבסיס, $h$ – גובה, $l$ – קו יוצר)

נפח מנסרה וגליל
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
המעטפת של חרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\cdot l$
נפח כדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^{3}$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^{2}$