משוואות בעזרת סכום שהופך למכפלה

מכפלה שווה $\displaystyle 0$ כשאחד הגורמים שלה שווה $\displaystyle 0$. לכן סכום של סינוסים או של קוסינוסים ששווה $\displaystyle 0$ הופכים למכפלה:

$\displaystyle {\sin5x+\sin x}={0}$

• $\displaystyle {2\sin3x\cos2x}={0}$.
• $\displaystyle {\sin3x}={0}$ או $\displaystyle {\cos2x}={0}$.
• $\displaystyle {3x}={\pi k}$ או $\displaystyle {2x}={\frac{\pi}{2}+\pi k}$.
• $\displaystyle {x}={\frac{\pi k}{3}}$ או $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}}$.

לפעמים אחרי ההפיכה למכפלה מופיע באגף השני אותו גורם. מעבירים הכול לאגף אחד ומוציאים אותו – לא מחלקים בו:

$\displaystyle {\cos3x+\cos x}={\cos2x}$

• $\displaystyle {2\cos2x\cos x}={\cos2x}$.
• $\displaystyle {\cos2x(2\cos x-1)}={0}$.
• $\displaystyle {\cos2x}={0}$ או $\displaystyle {\cos x}={\frac{1}{2}}$.
• $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}}$ או $\displaystyle {x}={\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k}$.

כשבצד אחד סינוס ובצד השני קוסינוס, הופכים אחד מהם בעזרת $\displaystyle {\sin x}={\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$, ומקבלים $\displaystyle {\cos f(x)}={\cos g(x)}$:

$\displaystyle {\sin x}={\cos3x}$

• $\displaystyle {\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}={\cos3x}$.
• $\displaystyle {3x}={\frac{\pi}{2}-x+2\pi k}$ או $\displaystyle {3x}={-\frac{\pi}{2}+x+2\pi k}$.
• $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}}$ או $\displaystyle {x}={-\frac{\pi}{4}+\pi k}$.

פתרו.

פתרו.

פתרו.

פתרו.

פתרו.

פתרו.