דלג לתוכן

זהויות במשולש והוכחת טענות

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 14 מתוך 18לימוד

זהויות במשולש והוכחת טענות

סכום הזוויות במשולש

במשולש α+β+γ=180∘\displaystyle {\alpha+\beta+\gamma}={180^\circ}, ולכן α=180∘−(β+γ)\displaystyle {\alpha}={180^\circ-(\beta+\gamma)}. לפי הזהויות של זוויות משלימות:

  • sin⁡α=sin⁡(β+γ)\displaystyle {\sin\alpha}={\sin(\beta+\gamma)}.
  • cos⁡α=−cos⁡(β+γ)\displaystyle {\cos\alpha}={-\cos(\beta+\gamma)}.

כך זווית אחת נכתבת בעזרת שתי האחרות, ונוסחאות הסכום פותחות אותה.

שטח מצלע ושתי זוויות

בהוכחה שלפניכם נמצא את b\displaystyle b במשפט הסינוסים, ונציב אותו בנוסחת השטח.
במשולש ABC\displaystyle ABC נתונים הצלע a\displaystyle a והזוויות שלידה, β\displaystyle \beta ו-γ\displaystyle \gamma.

טענהנימוק
1bsin⁡β=asin⁡α\displaystyle {\frac{b}{\sin\beta}}={\frac{a}{\sin\alpha}}, ולכן b=asin⁡βsin⁡α\displaystyle {b}={\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}}משפט הסינוסים
2sin⁡α=sin⁡(β+γ)\displaystyle {\sin\alpha}={\sin(\beta+\gamma)}α=180∘−(β+γ)\displaystyle {\alpha}={180^\circ-(\beta+\gamma)}
3S=12absin⁡γ\displaystyle {S}={\frac{1}{2}ab\sin\gamma}שטח משולש: שתי צלעות והזווית שביניהן
4S=12a⋅asin⁡βsin⁡(β+γ)⋅sin⁡γ=a2sin⁡βsin⁡γ2sin⁡(β+γ)\displaystyle {S}={\frac{1}{2}a\cdot\frac{a\sin\beta}{\sin(\beta+\gamma)}\cdot\sin\gamma}={\frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}}הצבה של (1) ו-(2) ב-(3)
מתי המשולש שווה־שוקיים

בהוכחה שלפניכם נוכיח: אם במשולש ABC\displaystyle ABC מתקיים a=2bcos⁡γ\displaystyle {a}={2b\cos\gamma}, אז המשולש שווה־שוקיים, β=γ\displaystyle {\beta}={\gamma}. נעבור מצלעות לסינוסים במשפט הסינוסים, ונשתמש ב-sin⁡α=sin⁡(β+γ)\displaystyle {\sin\alpha}={\sin(\beta+\gamma)}.

טענהנימוק
1a=2Rsin⁡α\displaystyle {a}={2R\sin\alpha}, b=2Rsin⁡β\displaystyle {b}={2R\sin\beta}משפט הסינוסים
2sin⁡α=2sin⁡βcos⁡γ\displaystyle {\sin\alpha}={2\sin\beta\cos\gamma}הצבה של (1) ב-a=2bcos⁡γ\displaystyle {a}={2b\cos\gamma}, וחלוקה ב-2R\displaystyle 2R
3sin⁡βcos⁡γ+cos⁡βsin⁡γ=2sin⁡βcos⁡γ\displaystyle {\sin\beta\cos\gamma+\cos\beta\sin\gamma}={2\sin\beta\cos\gamma}sin⁡α=sin⁡(β+γ)\displaystyle {\sin\alpha}={\sin(\beta+\gamma)}, ונוסחת הסכום
4sin⁡βcos⁡γ−cos⁡βsin⁡γ=0\displaystyle {\sin\beta\cos\gamma-\cos\beta\sin\gamma}={0}, כלומר sin⁡(β−γ)=0\displaystyle {\sin(\beta-\gamma)}={0}העברת אגפים, ונוסחת ההפרש
5β−γ=0\displaystyle {\beta-\gamma}={0}, כלומר β=γ\displaystyle {\beta}={\gamma}−180∘<β−γ<180∘\displaystyle -180^\circ<\beta-\gamma<180^\circ, ושם הסינוס מתאפס רק ב-0∘\displaystyle 0^\circ
מיתר במעגל

משפט הסינוסים נותן את האורך של כל מיתר במעגל שרדיוסו R\displaystyle R: המיתר שווה 2R\displaystyle 2R כפול הסינוס של זווית היקפית שנשענת עליו. זה עוזר להשוות מיתרים בעזרת זהויות.

משולש שווה צלעות ABC\displaystyle ABC חסום במעגל שרדיוסו R\displaystyle R. הנקודה D\displaystyle D על הקשת BC\displaystyle BC שאינה מכילה את A\displaystyle A.
נסמן θ=∠BAD\displaystyle {\theta}={\angle BAD}.
הוכיחו: AD=BD+CD\displaystyle {AD}={BD+CD}.

  • BD=2Rsin⁡θ\displaystyle {BD}={2R\sin\theta} (הזווית BAD\displaystyle BAD נשענת על BD\displaystyle BD).
  • CD=2Rsin⁡(60∘−θ)\displaystyle {CD}={2R\sin(60^\circ-\theta)} (הזווית CAD\displaystyle CAD היא 60∘−θ\displaystyle 60^\circ-\theta).
  • AD=2Rsin⁡∠ABD\displaystyle {AD}={2R\sin\angle ABD}, ו-∠ABD=∠ABC+∠CBD=60∘+(60∘−θ)=120∘−θ\displaystyle {\angle ABD}={\angle ABC+\angle CBD}={60^\circ+(60^\circ-\theta)}={120^\circ-\theta} (∠CBD=∠CAD\displaystyle {\angle CBD}={\angle CAD}: נשענות על אותה קשת).
  • נשאר להוכיח את הזהות sin⁡θ+sin⁡(60∘−θ)=sin⁡(120∘−θ)\displaystyle {\sin\theta+\sin(60^\circ-\theta)}={\sin(120^\circ-\theta)} – זה תרגיל 1.
תרגיל 1

הוכיחו את הזהות, ובה סיימו את ההוכחה ש-AD=BD+CD\displaystyle {AD}={BD+CD}. בכרטיס x\displaystyle x במקום θ\displaystyle \theta, והזוויות במעלות.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    במשולש ABC\displaystyle ABC מתקיים sin⁡α=2sin⁡βcos⁡γ\displaystyle {\sin\alpha}={2\sin\beta\cos\gamma}.
    הוכיחו שהמשולש שווה־שוקיים.
    רמז: sin⁡α=sin⁡(β+γ)\displaystyle {\sin\alpha}={\sin(\beta+\gamma)}. בכרטיס – y\displaystyle y במקום β\displaystyle \beta ו-z\displaystyle z במקום γ\displaystyle \gamma: הראו ש-sin⁡(β+γ)−2sin⁡βcos⁡γ=sin⁡(γ−β)\displaystyle {\sin(\beta+\gamma)-2\sin\beta\cos\gamma}={\sin(\gamma-\beta)}.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      סוף ההוכחה

      מה נותן sin⁡(γ−β)=0\displaystyle {\sin(\gamma-\beta)}={0}, כשהזוויות הן זוויות של משולש?

      תרגיל 3

      במשולש ABC\displaystyle ABC: BC=10\displaystyle {BC}={10}, β=50∘\displaystyle {\beta}={50^\circ}, γ=60∘\displaystyle {\gamma}={60^\circ}.
      מצאו את שטח המשולש.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 4

        ABCD\displaystyle ABCD ריבוע. E\displaystyle E אמצע הצלע BC\displaystyle BC, ו-F\displaystyle F אמצע הצלע CD\displaystyle CD.
        חשבו בלי מחשבון את sin⁡∠EAF\displaystyle \sin\angle EAF.

        א

        הסבירו למה tan⁡∠BAE=12\displaystyle {\tan\angle BAE}={\frac{1}{2}}, ולמה ∠EAF=90∘−2∠BAE\displaystyle {\angle EAF}={90^\circ-2\angle BAE}.

        ב

        לכן ∠EAF=90∘−2tan⁡−112\displaystyle {\angle EAF}={90^\circ-2\tan^{-1}\frac{1}{2}}. חשבו בלי מחשבון. רמז: sin⁡(90∘−x)=cos⁡x\displaystyle {\sin(90^\circ-x)}={\cos x}, ו-cos⁡2α=1−tan⁡2α1+tan⁡2α\displaystyle {\cos2\alpha}={\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}}.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ג

          פתרו שוב בדרך אחרת: צלע הריבוע 2\displaystyle 2. מצאו את AE\displaystyle AE, AF\displaystyle AF ו-EF\displaystyle EF, ואת cos⁡∠EAF\displaystyle \cos\angle EAF במשפט הקוסינוסים. מה sin⁡∠EAF\displaystyle \sin\angle EAF?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה