בעיות בגאומטריה עם פרמטר

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 15 מתוך 18לימוד

בעיות בגאומטריה עם פרמטר

תשובה בעזרת פרמטר

בבעיה עם פרמטר הנתונים הם אותיות, כמו $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle \alpha$ , והתשובה היא ביטוי בהן. הדרך זהה לדרך עם מספרים:

מסמנים בציור את הנתונים, ומביעים בעזרתם את הזוויות האחרות.
בוחרים משולש שבו ידועים מספיק נתונים, ומשתמשים במשפט הסינוסים, במשפט הקוסינוסים או בשטח.
מפשטים בעזרת זהויות. כדאי לבדוק את התשובה בערך אחד של הפרמטר.

אורך חוצה זווית

במשולש $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {AB}={c}$ , $\displaystyle {AC}={b}$ , $\displaystyle {\angle BAC}={\alpha}$ . $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ , ו- $\displaystyle D$ על $\displaystyle BC$ .
הביעו את $\displaystyle AD$ בעזרת $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ ו- $\displaystyle \alpha$ .

בפתרון שלפניכם נכתוב את שטח המשולש בשתי דרכים: כולו, וכסכום של שני המשולשים ש- $\displaystyle AD$ מחלק אותו אליהם. נסמן $\displaystyle {AD}={l}$ .

$\displaystyle {S_{ABC}}={\frac{1}{2}bc\sin\alpha}$ .
$\displaystyle {S_{ABD}+S_{ADC}}={\frac{1}{2}cl\sin\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{2}bl\sin\frac{\alpha}{2}}={\frac{1}{2}(b+c)\,l\sin\frac{\alpha}{2}}$ .
נשווה: $\displaystyle {l}={\frac{bc\sin\alpha}{(b+c)\sin\frac{\alpha}{2}}}$ .
$\displaystyle {\sin\alpha}={2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}$ , ולכן $\displaystyle {l}={\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}}$ .

בדיקה: $\displaystyle {b}={6}$ , $\displaystyle {c}={9}$ , $\displaystyle {\alpha}={60^\circ}$ נותנים $\displaystyle {l}={\frac{2\cdot54\cdot\cos30^\circ}{15}\approx6.24}$ .

תרגיל 1

משולש שווה־שוקיים $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {AB}={AC}={b}$ , וזווית הראש $\displaystyle {\angle BAC}={\alpha}$ .

הביעו בעזרת $\displaystyle b$ ו- $\displaystyle \alpha$ את הבסיס $\displaystyle BC$ , את שטח המשולש ואת רדיוס המעגל החוסם. רמז: הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש.

חשבו את

\displaystyle BC

כש-

\displaystyle {b}={10}

ו-

\displaystyle {\alpha}={40^\circ}

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את רדיוס המעגל החוסם כש-

\displaystyle {b}={10}

ו-

\displaystyle {\alpha}={40^\circ}

תרגיל 2

$\displaystyle ADC$ משולש שווה־שוקיים: $\displaystyle {AD}={AC}$ .
הנקודה $\displaystyle B$ על הצלע $\displaystyle DC$ , כך ש- $\displaystyle {AB}={BC}$ ו- $\displaystyle {DC}={3BC}$ .

נסמן $\displaystyle {BC}={x}$ ו- $\displaystyle {\gamma}={\angle ACD}$ . הסבירו למה $\displaystyle {AC}={2x\cos\gamma}$ (במשולש $\displaystyle ABC$ ) ולמה $\displaystyle {DC}={2AC\cos\gamma}$ (במשולש $\displaystyle ADC$ ). מכאן $\displaystyle {3x}={4x\cos^2\gamma}$ .
נסמן $\displaystyle {c}={\cos\gamma}$ ונפתור.

זוויות המשולש

איזה פתרון מתאים לזווית בסיס במשולש? מצאו את הזוויות של המשולש $\displaystyle ADC$ .

\displaystyle \angle ACD

\displaystyle \angle ADC

\displaystyle \angle DAC

נתון גם ששטח המשולש $\displaystyle ADC$ הוא $\displaystyle 16\sqrt{3}$ סמ"ר. $\displaystyle BT$ הוא הגובה לצלע $\displaystyle AC$ במשולש $\displaystyle ABC$ .
מצאו את $\displaystyle AC$ , ואחר כך את האורך של $\displaystyle DT$ . רמז: $\displaystyle T$ אמצע $\displaystyle AC$ – למה?

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

זהויות בסיסיות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
הטנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$

סכום והפרש של זוויות

$\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

זווית כפולה

$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha$
$\displaystyle \tan2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$
$\displaystyle \cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2\alpha}{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2\alpha}{2}$

סכום והפרש של סינוסים ושל קוסינוסים

$\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha+\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

משוואות – הפתרון הכללי ($k$ שלם)

$\displaystyle \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2\pi k\ \text{or}\ x=\pi-\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+\pi k$

משולש

משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית שבין $\displaystyle a$ ל- $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot\cos\gamma$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית שבין $\displaystyle b$ ל- $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}b\cdot c\cdot\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{2}\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}{2\cdot\sin(\beta+\gamma)}$

מעגל ($\alpha$ ברדיאנים, $R$ – רדיוס)

שטח עיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$
היקף מעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
אורך קשת
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha\cdot R$
שטח גזרה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha\cdot R^{2}$

גופים ($S$ – שטח הבסיס, $h$ – גובה, $l$ – קו יוצר)

נפח מנסרה וגליל
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
המעטפת של חרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\cdot l$
נפח כדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^{3}$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^{2}$