הוכחת זהויות

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 7 מתוך 18לימוד

הוכחת זהויות

מהי זהות

זהות היא שוויון שנכון לכל $\displaystyle x$ שבו שני האגפים מוגדרים. למשל, $\displaystyle {\tan x\cdot\cos x}={\sin x}$ נכון לכל $\displaystyle x$ שבו $\displaystyle \cos x\neq0$ .

הוכחה: שרשרת של שוויונות שמתחילה באגף אחד ומגיעה לאגף השני. כל שוויון בשרשרת נשען על זהות ידועה או על אלגברה.
מאיזה צד להתחיל: בדרך כלל מהצד המסובך יותר – קל יותר לפשט מאשר לסבך.
הפרכה: מספיק $\displaystyle x$ אחד שבו האגפים שונים. למשל, $\displaystyle {\sin2x}={2\sin x}$ אינה זהות: ב- $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}}$ השמאלי $\displaystyle 0$ והימני $\displaystyle 2$ .

שגיאה נפוצה בהוכחה

זהירות: לא כותבים את הזהות שצריך להוכיח, ואז עושים פעולות על שני האגפים עד שמגיעים למשהו נכון. כך מוכיחים רק את הכיוון ההפוך: מהזהות נובע המשפט הנכון – לא להפך. דוגמה: מ- $\displaystyle {1}={-1}$ , שאינו נכון, מקבלים בהעלאה בריבוע $\displaystyle {1}={1}$ , שנכון.

דרכים להתחיל

לכתוב הכול בעזרת $\displaystyle \sin$ ו- $\displaystyle \cos$ ( $\displaystyle {\tan x}={\frac{\sin x}{\cos x}}$ ).
לכנס שברים למכנה משותף.
להחליף $\displaystyle 1$ ב- $\displaystyle \sin^2x+\cos^2x$ , או להפך.
לפתוח זווית כפולה כשבאגף השני יש רק $\displaystyle x$ , ולהפך.
להכפיל מונה ומכנה בצמוד: $\displaystyle {(1-\cos x)(1+\cos x)}={\sin^2x}$ .
לפרק: הפרש ריבועים, גורם משותף.

דוגמה – מכנה משותף

הוכחה של $\displaystyle {\frac{1}{\cos x}-\cos x}={\sin x\tan x}$ , מהאגף השמאלי:

\frac{1}{\cos x}-\cos x=\frac{1-\cos^2x}{\cos x}=\frac{\sin^2x}{\cos x}=\sin x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sin x\tan x

דוגמה – כפל בצמוד

הוכחה של $\displaystyle {\frac{\sin x}{1-\cos x}}={\frac{1+\cos x}{\sin x}}$ : נכפיל את המונה ואת המכנה באגף השמאלי ב- $\displaystyle 1+\cos x$ .

\frac{\sin x}{1-\cos x}=\frac{\sin x(1+\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{\sin x(1+\cos x)}{\sin^2x}=\frac{1+\cos x}{\sin x}

תרגיל 1

הוכיחו: $\displaystyle {\tan x+\frac{1}{\tan x}}={\frac{2}{\sin2x}}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הוכיחו: $\displaystyle {(\sin x+\cos x)^2}={1+\sin2x}$

תרגיל 3

הוכיחו: $\displaystyle {\frac{\cos2x}{\cos x+\sin x}}={\cos x-\sin x}$

תרגיל 4

הוכיחו: $\displaystyle {\frac{\sin2x}{\sin x}-\frac{\cos2x}{\cos x}}={\frac{1}{\cos x}}$

תרגיל 5

הוכיחו: $\displaystyle {\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}={\frac{1}{2}\cos2x}$

תרגיל 6

הוכיחו: $\displaystyle {\frac{\sin3x}{\sin x}-\frac{\cos3x}{\cos x}}={2}$

תרגיל 7

האם $\displaystyle {\cos2x}={2\cos x-1}$ זהות? אם כן – הוכיחו; אם לא – תנו $\displaystyle x$ שבו האגפים שונים.

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

זהויות בסיסיות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
הטנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$

סכום והפרש של זוויות

$\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

זווית כפולה

$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha$
$\displaystyle \tan2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$
$\displaystyle \cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2\alpha}{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2\alpha}{2}$

סכום והפרש של סינוסים ושל קוסינוסים

$\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha+\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

משוואות – הפתרון הכללי ($k$ שלם)

$\displaystyle \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2\pi k\ \text{or}\ x=\pi-\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+\pi k$

משולש

משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית שבין $\displaystyle a$ ל- $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot\cos\gamma$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית שבין $\displaystyle b$ ל- $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}b\cdot c\cdot\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{2}\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}{2\cdot\sin(\beta+\gamma)}$

מעגל ($\alpha$ ברדיאנים, $R$ – רדיוס)

שטח עיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$
היקף מעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
אורך קשת
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha\cdot R$
שטח גזרה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha\cdot R^{2}$

גופים ($S$ – שטח הבסיס, $h$ – גובה, $l$ – קו יוצר)

נפח מנסרה וגליל
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
המעטפת של חרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\cdot l$
נפח כדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^{3}$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^{2}$