קוסינוס וסינוס של סכום ושל הפרש

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 3 מתוך 18לימוד

קוסינוס וסינוס של סכום ושל הפרש

\displaystyle \cos(\alpha-\beta)

אינו

\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta

הקוסינוס של הפרש אינו הפרש של קוסינוסים. למשל, $\displaystyle {\cos\left(\frac{\pi}{2}-0\right)}={0}$ , אבל $\displaystyle {\cos\frac{\pi}{2}-\cos0}={-1}$ .

הנוסחה הנכונה מערבת גם את הסינוסים:

\displaystyle \cos(\alpha-\beta)

\displaystyle =

\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta

הוכחת הנוסחה

בהוכחה שלפניכם נחשב את המרחק בין שתי נקודות על מעגל היחידה בשתי דרכים – בנוסחת המרחק ובמשפט הקוסינוסים – ונשווה.
$\displaystyle {A}={(\cos\alpha,\ \sin\alpha)}$ ו- $\displaystyle {B}={(\cos\beta,\ \sin\beta)}$ הן הנקודות של הזוויות $\displaystyle \alpha$ ו- $\displaystyle \beta$ , ו- $\displaystyle O$ ראשית הצירים.
הזווית $\displaystyle AOB$ היא $\displaystyle \alpha-\beta$ (כש- $\displaystyle 0<\alpha-\beta<\pi$ ; את המקרים האחרים מטפלים באותה דרך).

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AB^2}={(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2}$	נוסחת המרחק בין שתי נקודות
2	$\displaystyle {AB^2}={\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\beta+\sin^2\beta-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)}$	פתיחת הסוגריים
3	$\displaystyle {AB^2}={2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)}$	$\displaystyle {\sin^2+\cos^2}={1}$ , פעמיים
4	$\displaystyle {AB^2}={1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos(\alpha-\beta)}={2-2\cos(\alpha-\beta)}$	משפט הקוסינוסים במשולש $\displaystyle AOB$ : $\displaystyle {OA}={OB}={1}$
5	$\displaystyle {\cos(\alpha-\beta)}={\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}$	השוואה של (3) ו-(4)

שלוש הנוסחאות האחרות

משלוש זהויות שכבר ידועות לכם יוצאות הנוסחאות האחרות:

נציב $\displaystyle -\beta$ במקום $\displaystyle \beta$ , ונשתמש ב- $\displaystyle {\cos(-\beta)}={\cos\beta}$ וב- $\displaystyle {\sin(-\beta)}={-\sin\beta}$ :

\displaystyle \cos(\alpha+\beta)

\displaystyle =

\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta

$\displaystyle {\sin(\alpha+\beta)}={\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta\right)}={\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right)}$ , ולפי הנוסחה הראשונה:

\displaystyle \sin(\alpha+\beta)

\displaystyle =

\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta

נציב $\displaystyle -\beta$ במקום $\displaystyle \beta$ :

\displaystyle \sin(\alpha-\beta)

\displaystyle =

\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta

כדאי לשים לב לסימנים: בקוסינוס של סכום יש מינוס, ובסינוס של סכום – פלוס.

ערך מדויק של

\displaystyle \cos15^\circ

זווית שהיא סכום או הפרש של זוויות מהטבלה מקבלת ערך מדויק:

\begin{aligned}\cos15^\circ&=\cos(45^\circ-30^\circ)\\&=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{aligned}

ברדיאנים זה $\displaystyle \cos\frac{\pi}{12}$ , כי $\displaystyle {\frac{\pi}{12}}={\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}}$ .

תרגיל 1

חשבו את הערך המדויק. רמז: $\displaystyle {75^\circ}={45^\circ+30^\circ}$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

חשבו את הערך המדויק. רמז: $\displaystyle {\frac{7\pi}{12}}={\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}}$ .

תרגיל 3

חשבו את הערך המדויק.

תרגיל 4

חשבו בלי מחשבון. איזו נוסחה כתובה כאן מימין לשמאל?

תרגיל 5

פשטו עד שתגיעו ל- $\displaystyle \cos x$ .

תרגיל 6

פשטו עד שתגיעו ל- $\displaystyle \cos x$ .

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

זהויות בסיסיות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
הטנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$

סכום והפרש של זוויות

$\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

זווית כפולה

$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha$
$\displaystyle \tan2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$
$\displaystyle \cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2\alpha}{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2\alpha}{2}$

סכום והפרש של סינוסים ושל קוסינוסים

$\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha+\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

משוואות – הפתרון הכללי ($k$ שלם)

$\displaystyle \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2\pi k\ \text{or}\ x=\pi-\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+\pi k$

משולש

משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית שבין $\displaystyle a$ ל- $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot\cos\gamma$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית שבין $\displaystyle b$ ל- $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}b\cdot c\cdot\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{2}\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}{2\cdot\sin(\beta+\gamma)}$

מעגל ($\alpha$ ברדיאנים, $R$ – רדיוס)

שטח עיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$
היקף מעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
אורך קשת
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha\cdot R$
שטח גזרה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha\cdot R^{2}$

גופים ($S$ – שטח הבסיס, $h$ – גובה, $l$ – קו יוצר)

נפח מנסרה וגליל
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
המעטפת של חרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\cdot l$
נפח כדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^{3}$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^{2}$