דלג לתוכן

סכום והפרש של סינוסים ושל קוסינוסים

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 6 מתוך 18לימוד

סכום והפרש של סינוסים ושל קוסינוסים

מסכום למכפלה

מכפלה נוחה יותר מסכום: אפשר לצמצם אותה בשבר, ומכפלה שווה 0 רק כשאחד הגורמים שווה 0. הנוסחאות כאן הופכות סכום של סינוסים או של קוסינוסים למכפלה.

נחבר את sin⁡(u+v)=sin⁡ucos⁡v+cos⁡usin⁡v\displaystyle {\sin(u+v)}={\sin u\cos v+\cos u\sin v} ואת sin⁡(u−v)=sin⁡ucos⁡v−cos⁡usin⁡v\displaystyle {\sin(u-v)}={\sin u\cos v-\cos u\sin v}:

sin⁡(u+v)+sin⁡(u−v)=2sin⁡ucos⁡v\sin(u+v)+\sin(u-v)=2\sin u\cos v

נסמן α=u+v\displaystyle {\alpha}={u+v} ו-β=u−v\displaystyle {\beta}={u-v}. אז u=α+β2\displaystyle {u}={\frac{\alpha+\beta}{2}} ו-v=α−β2\displaystyle {v}={\frac{\alpha-\beta}{2}}, ומתקבלת הנוסחה הראשונה. שלוש האחרות יוצאות באותה דרך:

sin⁡α+sin⁡β\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta =\displaystyle = 2sin⁡α+β2⋅cos⁡α−β2\displaystyle 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
sin⁡α−sin⁡β\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta =\displaystyle = 2sin⁡α−β2⋅cos⁡α+β2\displaystyle 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}
cos⁡α+cos⁡β\displaystyle \cos\alpha+\cos\beta =\displaystyle = 2cos⁡α+β2⋅cos⁡α−β2\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α−cos⁡β\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta =\displaystyle = −2sin⁡α+β2⋅sin⁡α−β2\displaystyle -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

בכל הנוסחאות מופיעים חצי הסכום וחצי ההפרש של הזוויות. שימו לב למינוס בהפרש של קוסינוסים.

ערכים מדויקים
  • sin⁡75∘+sin⁡15∘=2sin⁡45∘cos⁡30∘=2⋅22⋅32=62\displaystyle {\sin75^\circ+\sin15^\circ}={2\sin45^\circ\cos30^\circ}={2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}={\frac{\sqrt{6}}{2}}.
  • cos⁡75∘−cos⁡15∘=−2sin⁡45∘sin⁡30∘=−22\displaystyle {\cos75^\circ-\cos15^\circ}={-2\sin45^\circ\sin30^\circ}={-\frac{\sqrt{2}}{2}}.

אף אחת מהזוויות 75∘\displaystyle 75^\circ, 15∘\displaystyle 15^\circ אינה מהטבלה, אבל חצי הסכום וחצי ההפרש שלהן כן.

צמצום שבר

כשגם המונה וגם המכנה הם סכומים, אחרי שהופכים אותם למכפלות מופיע בהם גורם משותף:

sin⁡5x−sin⁡3xcos⁡5x+cos⁡3x=2sin⁡xcos⁡4x2cos⁡4xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin5x-\sin3x}{\cos5x+\cos3x}=\frac{2\sin x\cos4x}{2\cos4x\cos x}=\tan x

הצמצום ב-cos⁡4x\displaystyle \cos4x מותר רק כש-cos⁡4x≠0\displaystyle \cos4x\neq0 – שם גם הביטוי המקורי מוגדר.

תרגיל 1

חשבו את הערך המדויק.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    חשבו את הערך המדויק.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 3

      פשטו עד שתגיעו ל-tan⁡2x\displaystyle \tan2x.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 4

        פשטו עד שתגיעו ל-tan⁡2x\displaystyle \tan2x.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 5

          כתבו כמכפלה, עד שתגיעו ל-sin⁡2x(2cos⁡x+1)\displaystyle \sin2x(2\cos x+1). רמז: חברו קודם את sin⁡x\displaystyle \sin x ואת sin⁡3x\displaystyle \sin3x.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה