חזרה: משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 13 מתוך 18לימוד

חזרה: משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים

שלושת הכלים

במשולש $\displaystyle ABC$ הצלע $\displaystyle a$ מול הזווית $\displaystyle \alpha$ , הצלע $\displaystyle b$ מול $\displaystyle \beta$ , והצלע $\displaystyle c$ מול $\displaystyle \gamma$ . $\displaystyle R$ הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

משפט הסינוסים – יחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה:

\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R

משפט הקוסינוסים – צלע מתוך שתי הצלעות האחרות והזווית שביניהן:

\displaystyle c^2

\displaystyle =

\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma

שטח – שתי צלעות והזווית שביניהן:

\displaystyle S

\displaystyle =

\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma

בשיעורים על משולשים הזוויות במעלות, וכל תוצאה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה, רק בסוף החישוב (≈).

איזה משפט לבחור

נתון	משפט
שתי זוויות וצלע	הסינוסים (הזווית השלישית: $\displaystyle 180^\circ$ פחות השתיים)
שתי צלעות והזווית שביניהן	הקוסינוסים
שלוש צלעות	הקוסינוסים – למציאת זווית
שתי צלעות וזווית שמול אחת מהן	הסינוסים – ייתכנו שני משולשים

שתי זוויות וצלע

במשולש $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {BC}={8}$ , $\displaystyle {\beta}={40^\circ}$ , $\displaystyle {\gamma}={75^\circ}$ .
מצאו את $\displaystyle AC$ ואת רדיוס המעגל החוסם.

$\displaystyle {\alpha}={180^\circ-40^\circ-75^\circ}={65^\circ}$ .
$\displaystyle {\frac{AC}{\sin40^\circ}}={\frac{8}{\sin65^\circ}}$ , ולכן $\displaystyle {AC}={\frac{8\sin40^\circ}{\sin65^\circ}\approx5.67}$ .
$\displaystyle {2R}={\frac{8}{\sin65^\circ}}$ , ולכן $\displaystyle {R}={\frac{8}{2\sin65^\circ}\approx4.41}$ .

שני משולשים

במשולש $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {BC}={7}$ , $\displaystyle {AC}={5}$ , $\displaystyle {\beta}={40^\circ}$ .
מצאו את $\displaystyle \alpha$ .

$\displaystyle {\frac{7}{\sin\alpha}}={\frac{5}{\sin40^\circ}}$ , ולכן $\displaystyle {\sin\alpha}={\frac{7\sin40^\circ}{5}\approx0.90}$ .
לזווית חדה ולזווית הקהה שמשלימה אותה ל- $\displaystyle 180^\circ$ יש אותו סינוס: $\displaystyle \alpha\approx64.15^\circ$ או $\displaystyle \alpha\approx115.85^\circ$ .
בשני המקרים $\displaystyle \alpha+\beta<180^\circ$ , ולכן יש שני משולשים כאלה – בציור, $\displaystyle ABC$ ו- $\displaystyle DBC$ .

תרגיל 1

במשולש $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {AB}={6}$ , $\displaystyle {AC}={9}$ , $\displaystyle {\alpha}={50^\circ}$ .

מצאו את

\displaystyle BC

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מצאו את שטח המשולש.

תרגיל 2

אורכי הצלעות של משולש הם $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 6$ ו- $\displaystyle 7$ .

מצאו את הזווית הגדולה במשולש. (מול איזו צלע היא?)

מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

תרגיל 3

במשולש $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {AB}={10}$ , $\displaystyle {\alpha}={35^\circ}$ , $\displaystyle {\beta}={105^\circ}$ .
מצאו את $\displaystyle BC$ .

תרגיל 4

במשולש $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {BC}={6}$ , $\displaystyle {AC}={8}$ , $\displaystyle {\alpha}={30^\circ}$ .
מצאו את שני הערכים האפשריים של $\displaystyle \beta$ , ואת $\displaystyle AB$ בכל אחד מהמשולשים.

\displaystyle \beta

חדה

\displaystyle AB

(כש-

\displaystyle \beta

חדה)

\displaystyle \beta

קהה

\displaystyle AB

(כש-

\displaystyle \beta

קהה)

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

זהויות בסיסיות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
הטנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$

סכום והפרש של זוויות

$\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

זווית כפולה

$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha$
$\displaystyle \tan2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$
$\displaystyle \cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2\alpha}{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2\alpha}{2}$

סכום והפרש של סינוסים ושל קוסינוסים

$\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha+\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

משוואות – הפתרון הכללי ($k$ שלם)

$\displaystyle \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2\pi k\ \text{or}\ x=\pi-\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+\pi k$

משולש

משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית שבין $\displaystyle a$ ל- $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot\cos\gamma$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית שבין $\displaystyle b$ ל- $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}b\cdot c\cdot\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{2}\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}{2\cdot\sin(\beta+\gamma)}$

מעגל ($\alpha$ ברדיאנים, $R$ – רדיוס)

שטח עיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$
היקף מעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
אורך קשת
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha\cdot R$
שטח גזרה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha\cdot R^{2}$

גופים ($S$ – שטח הבסיס, $h$ – גובה, $l$ – קו יוצר)

נפח מנסרה וגליל
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
המעטפת של חרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\cdot l$
נפח כדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^{3}$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^{2}$