טריגונומטריה בגופים

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 16 מתוך 18לימוד

טריגונומטריה בגופים

הזווית בין ישר למישור

לגוף ישר – מנסרה ישרה, פירמידה ישרה, גליל, חרוט – יש גובה שמאונך לבסיס. לכן כל משולש שאחת מצלעותיו היא הגובה הוא משולש ישר זווית, ובו פותרים בעזרת $\displaystyle \sin$ , $\displaystyle \cos$ ו- $\displaystyle \tan$ .

הזווית בין ישר למישור: הזווית בין הישר לבין ההיטל שלו על המישור. ההיטל של $\displaystyle SA$ על הבסיס הוא $\displaystyle OA$ , כש- $\displaystyle O$ עקב הגובה מ- $\displaystyle S$ .
הזווית בין פאה לבסיס: הזווית בין שני ישרים מאונכים לצלע המשותפת – אחד בפאה ואחד בבסיס. בפירמידה ישרה עם בסיס ריבועי: $\displaystyle \angle SMO$ , כש- $\displaystyle M$ אמצע צלע הבסיס.

פירמידה ריבועית ישרה

$\displaystyle SABCD$ פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע $\displaystyle ABCD$ שצלעו $\displaystyle 6$ . $\displaystyle O$ מרכז הבסיס.
המקצוע הצדדי $\displaystyle SA$ יוצר זווית של $\displaystyle 50^\circ$ עם הבסיס.
מצאו את הגובה, את $\displaystyle SA$ ואת נפח הפירמידה.

$\displaystyle OA$ הוא חצי האלכסון: $\displaystyle {OA}={\frac{6\sqrt{2}}{2}}={3\sqrt{2}}$ .
במשולש ישר הזווית $\displaystyle SOA$ : $\displaystyle {SO}={3\sqrt{2}\tan50^\circ\approx5.06}$ , ו- $\displaystyle {SA}={\frac{3\sqrt{2}}{\cos50^\circ}\approx6.60}$ .
$\displaystyle {V}={\frac{S\cdot h}{3}}={\frac{36\cdot3\sqrt{2}\tan50^\circ}{3}\approx60.67}$ .

חרוט

הקו היוצר של חרוט ישר הוא $\displaystyle 10$ ס"מ, והוא יוצר זווית של $\displaystyle 35^\circ$ עם הבסיס.
מצאו את הרדיוס, את הגובה ואת נפח החרוט.

במשולש $\displaystyle SOA$ : $\displaystyle {r}={OA}={10\cos35^\circ\approx8.19}$ , ו- $\displaystyle {h}={SO}={10\sin35^\circ\approx5.74}$ .
$\displaystyle {V}={\frac{\pi r^2h}{3}}={\frac{\pi\cdot(10\cos35^\circ)^2\cdot10\sin35^\circ}{3}\approx403.04}$ סמ"ק.
כדאי לעגל רק בסוף: עם $\displaystyle 8.19$ ו- $\displaystyle 5.74$ יוצא $\displaystyle 403.19$ .

תרגיל 1

$\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ תיבה: $\displaystyle {AB}={4}$ , $\displaystyle {BC}={3}$ .
האלכסון $\displaystyle AC'$ יוצר זווית של $\displaystyle 40^\circ$ עם הבסיס $\displaystyle ABCD$ .

מצאו את גובה התיבה,

\displaystyle CC'

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מצאו את נפח התיבה.

תרגיל 2

$\displaystyle SABCD$ פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע שצלעו $\displaystyle 8$ .
פאה צדדית יוצרת זווית של $\displaystyle 60^\circ$ עם הבסיס.

מצאו את גובה הפירמידה. רמז: המשולש

\displaystyle SOM

מצאו את השטח של ארבע הפאות הצדדיות יחד.

תרגיל 3

רדיוס הבסיס של גליל ישר הוא $\displaystyle 5$ .
האלכסון של החתך הצירי (המלבן שעובר דרך ציר הגליל) יוצר זווית של $\displaystyle 30^\circ$ עם הבסיס.
מצאו את נפח הגליל.

תרגיל 4

מישור חותך כדור שרדיוסו $\displaystyle 13$ , במרחק $\displaystyle 5$ ממרכז הכדור $\displaystyle O$ . החתך הוא מעגל.
$\displaystyle A$ נקודה על מעגל החתך.
מצאו את רדיוס מעגל החתך, ואת הזווית בין $\displaystyle OA$ למישור החתך.

רדיוס החתך

הזווית בין

\displaystyle OA

למישור

תרגיל 5

הבסיס של מנסרה ישרה הוא משולש שווה־שוקיים: השוקיים $\displaystyle 6$ , וזווית הראש $\displaystyle 40^\circ$ .
גובה המנסרה $\displaystyle 10$ .
מצאו את נפח המנסרה.

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

זהויות בסיסיות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
הטנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$

סכום והפרש של זוויות

$\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

זווית כפולה

$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha$
$\displaystyle \tan2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$
$\displaystyle \cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2\alpha}{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2\alpha}{2}$

סכום והפרש של סינוסים ושל קוסינוסים

$\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha+\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

משוואות – הפתרון הכללי ($k$ שלם)

$\displaystyle \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2\pi k\ \text{or}\ x=\pi-\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+\pi k$

משולש

משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית שבין $\displaystyle a$ ל- $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot\cos\gamma$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית שבין $\displaystyle b$ ל- $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}b\cdot c\cdot\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{2}\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}{2\cdot\sin(\beta+\gamma)}$

מעגל ($\alpha$ ברדיאנים, $R$ – רדיוס)

שטח עיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$
היקף מעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
אורך קשת
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha\cdot R$
שטח גזרה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha\cdot R^{2}$

גופים ($S$ – שטח הבסיס, $h$ – גובה, $l$ – קו יוצר)

נפח מנסרה וגליל
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
המעטפת של חרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\cdot l$
נפח כדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^{3}$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^{2}$