דלג לתוכן

חזרה: מעגל היחידה והזהויות הבסיסיות

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 1 מתוך 18לימוד

חזרה: מעגל היחידה והזהויות הבסיסיות

מעגל היחידה

בכיתה י’ הגדרתם את הסינוס ואת הקוסינוס בעזרת מעגל היחידה – מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 1:

  • הזווית α\displaystyle \alpha נמדדת מהחלק החיובי של ציר ה-x\displaystyle x, נגד כיוון השעון.
  • הנקודה שהזווית קובעת על המעגל היא (cos⁡α, sin⁡α)\displaystyle (\cos\alpha,\ \sin\alpha).
  • tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}, כש-cos⁡α≠0\displaystyle \cos\alpha\neq0.
  • רדיאן: π\displaystyle \pi רדיאנים הם 180∘\displaystyle 180^\circ. לכן π6=30∘\displaystyle {\frac{\pi}{6}}={30^\circ}, π4=45∘\displaystyle {\frac{\pi}{4}}={45^\circ}, π3=60∘\displaystyle {\frac{\pi}{3}}={60^\circ}, π2=90∘\displaystyle {\frac{\pi}{2}}={90^\circ}.
  • sin⁡\displaystyle \sin ו-cos⁡\displaystyle \cos חוזרות על עצמן כל 2π\displaystyle 2\pi, ו-tan⁡\displaystyle \tan – כל π\displaystyle \pi.

בקורס הזה הכלים קוראים זוויות ברדיאנים. זווית במעלות כותבים עם סימן המעלה: 30∘\displaystyle 30^\circ.

הערכים המדויקים

את הערכים האלה כדאי לדעת בעל פה:

α\displaystyle \alpha0\displaystyle 0π6\displaystyle \frac{\pi}{6}π4\displaystyle \frac{\pi}{4}π3\displaystyle \frac{\pi}{3}π2\displaystyle \frac{\pi}{2}
sin⁡α\displaystyle \sin\alpha0\displaystyle 012\displaystyle \frac{1}{2}22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}1\displaystyle 1
cos⁡α\displaystyle \cos\alpha1\displaystyle 132\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}12\displaystyle \frac{1}{2}0\displaystyle 0
tan⁡α\displaystyle \tan\alpha0\displaystyle 033\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}1\displaystyle 13\displaystyle \sqrt{3}–

ברביע אחר הערך המוחלט זהה, והסימן לפי הרביע: sin⁡5π6=12\displaystyle {\sin\frac{5\pi}{6}}={\frac{1}{2}}, cos⁡2π3=−12\displaystyle {\cos\frac{2\pi}{3}}={-\frac{1}{2}}.

זהויות של סימטריה

שתי זוויות שהנקודות שלהן על מעגל היחידה סימטריות זו לזו נותנות אותם ערכים, אולי בסימן אחר:

  • −α\displaystyle -\alpha: שיקוף בציר ה-x\displaystyle x.
sin⁡(−α)\displaystyle \sin(-\alpha) =\displaystyle = −sin⁡α\displaystyle -\sin\alpha
cos⁡(−α)\displaystyle \cos(-\alpha) =\displaystyle = cos⁡α\displaystyle \cos\alpha
  • π−α\displaystyle \pi-\alpha: שיקוף בציר ה-y\displaystyle y.
sin⁡(π−α)\displaystyle \sin(\pi-\alpha) =\displaystyle = sin⁡α\displaystyle \sin\alpha
cos⁡(π−α)\displaystyle \cos(\pi-\alpha) =\displaystyle = −cos⁡α\displaystyle -\cos\alpha
  • π2−α\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha: שיקוף בישר y=x\displaystyle {y}={x} – הסינוס והקוסינוס מתחלפים.
sin⁡(π2−α)\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) =\displaystyle = cos⁡α\displaystyle \cos\alpha
cos⁡(π2−α)\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) =\displaystyle = sin⁡α\displaystyle \sin\alpha
sin⁡2α+cos⁡2α=1\displaystyle {\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}={1}

הנקודה (cos⁡α, sin⁡α)\displaystyle (\cos\alpha,\ \sin\alpha) נמצאת על מעגל היחידה, ולכן לפי משפט פיתגורס:

sin⁡2α+cos⁡2α\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =\displaystyle = 1\displaystyle 1

נחלק את שני האגפים ב-cos⁡2α\displaystyle \cos^2\alpha ונקבל זהות נוספת:

1+tan⁡2α\displaystyle 1+\tan^2\alpha =\displaystyle = 1cos⁡2α\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}

דוגמה: sin⁡α=35\displaystyle {\sin\alpha}={\frac{3}{5}}, והזווית α\displaystyle \alpha ברביע השני.

  • cos⁡2α=1−925=1625\displaystyle {\cos^2\alpha}={1-\frac{9}{25}}={\frac{16}{25}}, ולכן cos⁡α=45\displaystyle {\cos\alpha}={\frac{4}{5}} או cos⁡α=−45\displaystyle {\cos\alpha}={-\frac{4}{5}}.
  • ברביע השני הקוסינוס שלילי: cos⁡α=−45\displaystyle {\cos\alpha}={-\frac{4}{5}}.
  • tan⁡α=35:(−45)=−34\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{3}{5}:\left(-\frac{4}{5}\right)}={-\frac{3}{4}}.
תרגיל 1

חשבו בלי מחשבון.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    פשטו בעזרת הזהויות של סימטריה, עד שתגיעו ל-2sin⁡x\displaystyle 2\sin x.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 3

      פשטו עד שתגיעו ל-tan⁡x\displaystyle \tan x.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 4

        cos⁡α=−513\displaystyle {\cos\alpha}={-\frac{5}{13}}, והזווית α\displaystyle \alpha ברביע השלישי.
        נסמן s=sin⁡α\displaystyle {s}={\sin\alpha}. פתרו את המשוואה שנותנת הזהות sin⁡2α+cos⁡2α=1\displaystyle {\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}={1}.

          sin⁡α\displaystyle \sin\alpha

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            tan⁡α\displaystyle \tan\alpha

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 5

              tan⁡α=2\displaystyle {\tan\alpha}={2}, והזווית α\displaystyle \alpha ברביע השלישי.
              נסמן c=cos⁡α\displaystyle {c}={\cos\alpha}. פתרו את המשוואה שנותנת הזהות 1+tan⁡2α=1cos⁡2α\displaystyle {1+\tan^2\alpha}={\frac{1}{\cos^2\alpha}}, ובחרו את הפתרון המתאים לרביע.

                cos⁡α\displaystyle \cos\alpha

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה