דלג לתוכן

שימושים בנוסחאות הסכום וההפרש

טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 4 מתוך 18לימוד

שימושים בנוסחאות הסכום וההפרש

סינוס של סכום מנתונים

כדי להשתמש בנוסחה צריך את הסינוס ואת הקוסינוס של כל אחת מהזוויות. את החסרים מוצאים בעזרת sin⁡2+cos⁡2=1\displaystyle {\sin^2+\cos^2}={1} והרביע.

sin⁡α=35\displaystyle {\sin\alpha}={\frac{3}{5}}, והזווית α\displaystyle \alpha ברביע השני.
cos⁡β=−513\displaystyle {\cos\beta}={-\frac{5}{13}}, והזווית β\displaystyle \beta ברביע השני.
מצאו את sin⁡(α+β)\displaystyle \sin(\alpha+\beta).

  • cos⁡α=−45\displaystyle {\cos\alpha}={-\frac{4}{5}} ו-sin⁡β=1213\displaystyle {\sin\beta}={\frac{12}{13}} (ברביע השני הקוסינוס שלילי והסינוס חיובי).
  • sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=35⋅(−513)+(−45)⋅1213=−6365\displaystyle {\sin(\alpha+\beta)}={\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}={\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)+\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\frac{12}{13}}={-\frac{63}{65}}.
הזווית כפונקציה הפוכה

זווית כזו אפשר לכתוב בעזרת פונקציה הפוכה: sin⁡−145\displaystyle \sin^{-1}\frac{4}{5} היא הזווית החדה שהסינוס שלה 45\displaystyle \frac{4}{5}, ו-cos⁡−1(−513)\displaystyle \cos^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right) היא הזווית שבין 0\displaystyle 0 ל-π\displaystyle \pi שהקוסינוס שלה −513\displaystyle -\frac{5}{13}.

הטנגנס של סכום

נחלק את המונה ואת המכנה של sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)\displaystyle \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} ב-cos⁡αcos⁡β\displaystyle \cos\alpha\cos\beta ונקבל:

tan⁡(α+β)\displaystyle \tan(\alpha+\beta) =\displaystyle = tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡α⋅tan⁡β\displaystyle \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}

דוגמה: tan⁡α=12\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{1}{2}} ו-tan⁡β=13\displaystyle {\tan\beta}={\frac{1}{3}}, ושתי הזוויות חדות.

  • tan⁡(α+β)=12+131−16=1\displaystyle {\tan(\alpha+\beta)}={\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}}={1}.
  • 0<α+β<π\displaystyle 0<\alpha+\beta<\pi, ולכן α+β=π4\displaystyle {\alpha+\beta}={\frac{\pi}{4}}.
asin⁡x+bcos⁡x\displaystyle a\sin x+b\cos x כסינוס אחד

סכום של סינוס וקוסינוס של אותה זווית הוא סינוס אחד, מוזז ומתוח. נוציא גורם משותף כך שבסוגריים יופיעו cos⁡\displaystyle \cos ו-sin⁡\displaystyle \sin של זווית מהטבלה:

sin⁡x+3cos⁡x=2(12sin⁡x+32cos⁡x)=2(sin⁡xcos⁡π3+cos⁡xsin⁡π3)=2sin⁡(x+π3)\begin{aligned}\sin x+\sqrt{3}\cos x&=2\left(\tfrac{1}{2}\sin x+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)\\&=2\left(\sin x\cos\tfrac{\pi}{3}+\cos x\sin\tfrac{\pi}{3}\right)\\&=2\sin\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)\end{aligned}

הגורם 2\displaystyle 2 הוא 12+(3)2\displaystyle \sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}. מכאן רואים מיד שהערך הגדול ביותר של הביטוי הוא 2\displaystyle 2.

תרגיל 1

sin⁡α=45\displaystyle {\sin\alpha}={\frac{4}{5}} ו-sin⁡β=513\displaystyle {\sin\beta}={\frac{5}{13}}, ושתי הזוויות חדות: הן sin⁡−145\displaystyle \sin^{-1}\frac{4}{5} ו-sin⁡−1513\displaystyle \sin^{-1}\frac{5}{13}.
חשבו את cos⁡(α−β)\displaystyle \cos(\alpha-\beta): כתבו את הנוסחה עם המספרים, ואחר כך את התוצאה.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    tan⁡α=2\displaystyle {\tan\alpha}={2} ו-tan⁡β=3\displaystyle {\tan\beta}={3}, ושתי הזוויות חדות.
    חשבו את tan⁡(α+β)\displaystyle \tan(\alpha+\beta).

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      α+β\displaystyle \alpha+\beta

      מה הזווית α+β\displaystyle \alpha+\beta? הסבירו.

      תרגיל 3

      כתבו כסינוס אחד, עד שתגיעו ל-2sin⁡(x−π6)\displaystyle 2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right).

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 4

        פשטו עד שתגיעו ל-2sin⁡xcos⁡y\displaystyle 2\sin x\cos y.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 5

          פשטו עד שתגיעו ל-cos⁡2x−sin⁡2y\displaystyle \cos^2x-\sin^2y.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה