זוויות בין ישרים ומישורים

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 21 מתוך 23לימוד

זוויות בין ישרים ומישורים

שני ישרים

הזווית בין שני ישרים – נחתכים או מצטלבים – היא הזווית בין וקטורי הכיוון שלהם, או המשלימה שלה: בין $\displaystyle 0^{\circ}$ ל- $\displaystyle 90^{\circ}$ . לכן לוקחים ערך מוחלט:

\displaystyle \cos\alpha

\displaystyle =

\displaystyle \frac{|\underline{u}\cdot\underline{v}|}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}

ישר ומישור

הזווית $\displaystyle \beta$ בין הישר להיטל שלו והזווית בין הישר לנורמל משלימות זו את זו ל- $\displaystyle 90^{\circ}$ . מכיוון ש- $\displaystyle {\cos(90^{\circ}-\beta)}={\sin\beta}$ :

\displaystyle \sin\beta

\displaystyle =

\displaystyle \frac{|\underline{n}\cdot\underline{u}|}{|\underline{n}|\cdot|\underline{u}|}

שני מישורים

הזווית בין שני מישורים שווה לזווית בין הנורמלים שלהם (או למשלימה שלה) – שני האנכים לישר החיתוך מסובבים ב- $\displaystyle 90^{\circ}$ ביחס לנורמלים:

\displaystyle \cos\alpha

\displaystyle =

\displaystyle \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}

שתי דרכים לאותה זווית

בשיעור “זוויות במרחב” חישבתם בתיבה שמידותיה 3, 4, 6 את הזווית בין האלכסון $\displaystyle AC'$ לבסיס: $\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{6}{5}}$ , $\displaystyle \alpha\approx50.19^{\circ}$ .
עכשיו בכלים וקטוריים: מציבים את $\displaystyle A$ בראשית, ו- $\displaystyle AB$ , $\displaystyle AD$ , $\displaystyle AA'$ על הצירים.

$\displaystyle {\overrightarrow{AC'}}={(3,4,6)}$ , והבסיס הוא המישור $\displaystyle {z}={0}$ , שהנורמל שלו $\displaystyle (0,0,1)$ .
$\displaystyle {\sin\beta}={\frac{6}{\sqrt{9+16+36}\cdot1}}={\frac{6}{\sqrt{61}}}$ , ולכן $\displaystyle \beta\approx50.19^{\circ}$ .

הדרך הטריגונומטרית קצרה כשרואים משולש ישר זווית; הדרך הווקטורית לא דורשת למצוא את ההיטל, ומתאימה לכל גוף שאפשר להציב במערכת צירים.

תרגיל 1

מהי הזווית בין הישרים $\displaystyle {\underline{x}}={(1,2,3)+t(1,2,2)}$ ו- $\displaystyle {\underline{x}}={(0,0,1)+s(2,-1,2)}$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

מהי הזווית בין הישר $\displaystyle {\underline{x}}={(0,1,0)+t(1,1,0)}$ למישור $\displaystyle {2x-y+2z}={1}$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 3

מהי הזווית בין המישורים $\displaystyle {x+y+z}={1}$ ו- $\displaystyle {x-y+2z}={3}$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 4

הפירמידה הישרה מהשיעור “זוויות במרחב” מוצבת במערכת צירים: $\displaystyle A(0,0,0)$ , $\displaystyle B(6,0,0)$ , $\displaystyle C(6,6,0)$ , $\displaystyle D(0,6,0)$ , $\displaystyle S(3,3,4)$ .

$\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,1)}$ נורמל למישור $\displaystyle SBC$ : מאונך ל- $\displaystyle {\overrightarrow{BS}}={(-3,3,4)}$ ול- $\displaystyle {\overrightarrow{BC}}={(0,6,0)}$ . מצאו את $\displaystyle a$ ואת $\displaystyle b$ .

הזווית בין הפאה

\displaystyle SBC

לבסיס

הזווית בין המקצוע

\displaystyle SA

לבסיס

השוו לתוצאות שקיבלתם בשיעור “זוויות במרחב” בכלים טריגונומטריים.

נוסחאות: וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גופים במרחב

נפח מנסרה וגליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
שטח המעטפת של חרוט ישר – $\displaystyle R$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle \ell$ הקו היוצר
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\ell$
נפח כדור – $\displaystyle R$ רדיוס הכדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^2$
האלכסון של תיבה שמידותיה $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

טריגונומטריה במשולש

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
וקטורים קולינאריים (מקבילים)
$\displaystyle \underline{v}=t\cdot\underline{u}$
הנקודה $\displaystyle M$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle m:n$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ $\displaystyle AM:MB=m:n$
$\displaystyle M$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

המכפלה הסקלרית

אורך וקטור $\displaystyle {\underline{u}}={(u_1,u_2,u_3)}$
$\displaystyle |\underline{u}|=\sqrt{\underline{u}\cdot\underline{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$
מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$
מכפלה סקלרית – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\underline{u}+\underline{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underline{u}^2+2\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}^2$

נקודות ווקטורים במערכת צירים

וקטור בין שתי נקודות
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle AB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

ישר ומישור

ישר – $\displaystyle \underline{v}$ נקודה על הישר, $\displaystyle \underline{u}$ וקטור הכיוון
$\displaystyle \underline{x}=\underline{v}+t\cdot\underline{u}$
מישור בהצגה פרמטרית – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ אינם מקבילים
$\displaystyle \underline{x}=\underline{p}+t\cdot\underline{u}+s\cdot\underline{v}$
משוואת מישור – $\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,c)}$ וקטור הנורמל
$\displaystyle ax+by+cz+d=0$
המישור שעובר דרך $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ווקטור הנורמל שלו $\displaystyle (a,b,c)$
$\displaystyle a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

מרחקים

המרחק של נקודה $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ממישור $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c\cdot z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
המרחק בין המישורים המקבילים $\displaystyle {ax+by+cz+d_1}={0}$ ו- $\displaystyle {ax+by+cz+d_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

זוויות

הזווית בין שני ישרים – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ וקטורי הכיוון
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{u}\cdot\underline{v}|}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}$
הזווית בין הישר $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\cdot\underline{u}}$ למישור שהנורמל שלו $\displaystyle \underline{n}$
$\displaystyle \sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n}\cdot\underline{u}|}{|\underline{n}|\cdot|\underline{u}|}$
הזווית בין שני מישורים – $\displaystyle \underline{n_1}$ , $\displaystyle \underline{n_2}$ הנורמלים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}$