זוויות במרחב

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 2 מתוך 23לימוד

זוויות במרחב

היטל ומשופע

ההיטל של נקודה $\displaystyle P$ על מישור הוא העקב $\displaystyle P'$ של האנך מ- $\displaystyle P$ למישור.
ישר שחותך את המישור ואינו מאונך לו נקרא משופע.
ההיטל של המשופע $\displaystyle PA$ הוא הקטע $\displaystyle P'A$ : הוא מחבר את נקודת החיתוך $\displaystyle A$ עם ההיטל של $\displaystyle P$ .
המרחק של $\displaystyle P$ מהמישור הוא $\displaystyle PP'$ – הקטע הקצר ביותר מ- $\displaystyle P$ למישור.

הזווית בין ישר למישור

הזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר לבין ההיטל שלו על המישור – הזווית $\displaystyle \alpha$ שבציור.

היא בין $\displaystyle 0^{\circ}$ ל- $\displaystyle 90^{\circ}$ ;
ישר מאונך למישור יוצר איתו זווית של $\displaystyle 90^{\circ}$ , וישר מקביל או מוכל – זווית של $\displaystyle 0^{\circ}$ .

המשולש $\displaystyle PP'A$ ישר זווית ב- $\displaystyle P'$ , כי $\displaystyle PP'$ מאונך למישור. לכן את $\displaystyle \alpha$ מחשבים בו: $\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{PP'}{P'A}}$ .

משפט שלושת האנכים

ישר במישור מאונך למשופע אם ורק אם הוא מאונך להיטל של המשופע על המישור.

שלושת האנכים הם האנך $\displaystyle PP'$ למישור, האנך מ- $\displaystyle P'$ לישר שבמישור, והאנך מ- $\displaystyle P$ לאותו ישר – והם נפגשים באותה נקודה. נוכיח את המשפט בעזרת וקטורים בשיעור על שימושי המכפלה הסקלרית.

הזווית בין שני מישורים

שני מישורים נחתכים לאורך ישר החיתוך שלהם. מעבירים מנקודה על ישר החיתוך אנך אליו בכל אחד מהמישורים. הזווית בין המישורים היא הזווית בין שני האנכים האלה.

בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע: הזווית בין הפאה $\displaystyle SBC$ לבסיס היא $\displaystyle {\alpha}={\angle SMO}$ , כש- $\displaystyle M$ אמצע $\displaystyle BC$ .

$\displaystyle OM\perp BC$ , כי $\displaystyle OM$ מקביל ל- $\displaystyle AB$ ;
$\displaystyle SM\perp BC$ , לפי משפט שלושת האנכים: $\displaystyle SO$ מאונך לבסיס, ו- $\displaystyle OM$ הוא ההיטל של $\displaystyle SM$ .

הזווית בין ישרים מצטלבים

הזווית בין שני ישרים מצטלבים היא הזווית בין אחד מהם לבין ישר שמקביל לשני ונחתך איתו.

דוגמה. בקובייה, מהי הזווית בין $\displaystyle AB'$ ל- $\displaystyle BC'$ ?

$\displaystyle BC'\parallel AD'$ (המרובע $\displaystyle ABC'D'$ הוא מלבן), ולכן הזווית היא $\displaystyle \angle B'AD'$ .
$\displaystyle AB'$ , $\displaystyle AD'$ ו- $\displaystyle B'D'$ הם אלכסונים של פאות הקובייה, ולכן הם שווים: המשולש $\displaystyle AB'D'$ שווה צלעות.
הזווית בין הישרים היא $\displaystyle 60^{\circ}$ .

דוגמה: אלכסון התיבה והבסיס

בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ : $\displaystyle {AB}={3}$ , $\displaystyle {AD}={4}$ , $\displaystyle {AA'}={6}$ .
חשבו את הזווית בין האלכסון $\displaystyle AC'$ למישור הבסיס.

בפתרון שלפניכם נמצא את ההיטל של $\displaystyle AC'$ על הבסיס, ונחשב את הזווית במשולש ישר זווית.

$\displaystyle CC'$ מאונך לבסיס, ולכן ההיטל של $\displaystyle C'$ הוא $\displaystyle C$ , וההיטל של $\displaystyle AC'$ הוא $\displaystyle AC$ : הזווית היא $\displaystyle {\alpha}={\angle C'AC}$ .
$\displaystyle {AC}={\sqrt{3^2+4^2}}={5}$ .
במשולש $\displaystyle ACC'$ , ישר הזווית ב- $\displaystyle C$ : $\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{6}{5}}$ , ולכן $\displaystyle \alpha\approx50.19^{\circ}$ .

דוגמה: פאה ובסיס

בפירמידה ישרה $\displaystyle SABCD$ שבסיסה ריבוע: צלע הבסיס 6, והגובה $\displaystyle {SO}={4}$ .
חשבו את הזווית בין הפאה $\displaystyle SBC$ לבסיס.

בפתרון שלפניכם נשתמש בזווית $\displaystyle \angle SMO$ שמצאנו למעלה, כש- $\displaystyle M$ אמצע $\displaystyle BC$ .

$\displaystyle OM$ הוא חצי צלע הבסיס: $\displaystyle {OM}={3}$ .
במשולש $\displaystyle SOM$ , ישר הזווית ב- $\displaystyle O$ : $\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{SO}{OM}}={\frac{4}{3}}$ , ולכן $\displaystyle \alpha\approx53.13^{\circ}$ .

תרגיל 1

אורך המקצוע של קובייה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ הוא 2.
חשבו את הזווית בין האלכסון $\displaystyle AC'$ למישור הבסיס, מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

בפירמידה ישרה $\displaystyle SABCD$ שבסיסה ריבוע: צלע הבסיס 6, והגובה $\displaystyle {SO}={4}$ .
חשבו את הזווית בין המקצוע הצדדי $\displaystyle SA$ למישור הבסיס, מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 3

בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ : $\displaystyle {AB}={4}$ , $\displaystyle {AD}={3}$ , $\displaystyle {AA'}={5}$ .

הזווית בין המישור

\displaystyle ABC'D'

למישור הבסיס

הזווית בין הישרים המצטלבים

\displaystyle AA'

ו-

\displaystyle BD'

נמקו: מדוע הזווית שחישבתם בסעיף 1 היא $\displaystyle \angle C'BC$ ?

נוסחאות: וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גופים במרחב

נפח מנסרה וגליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
שטח המעטפת של חרוט ישר – $\displaystyle R$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle \ell$ הקו היוצר
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\ell$
נפח כדור – $\displaystyle R$ רדיוס הכדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^2$
האלכסון של תיבה שמידותיה $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

טריגונומטריה במשולש

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
וקטורים קולינאריים (מקבילים)
$\displaystyle \underline{v}=t\cdot\underline{u}$
הנקודה $\displaystyle M$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle m:n$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ $\displaystyle AM:MB=m:n$
$\displaystyle M$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

המכפלה הסקלרית

אורך וקטור $\displaystyle {\underline{u}}={(u_1,u_2,u_3)}$
$\displaystyle |\underline{u}|=\sqrt{\underline{u}\cdot\underline{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$
מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$
מכפלה סקלרית – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\underline{u}+\underline{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underline{u}^2+2\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}^2$

נקודות ווקטורים במערכת צירים

וקטור בין שתי נקודות
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle AB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

ישר ומישור

ישר – $\displaystyle \underline{v}$ נקודה על הישר, $\displaystyle \underline{u}$ וקטור הכיוון
$\displaystyle \underline{x}=\underline{v}+t\cdot\underline{u}$
מישור בהצגה פרמטרית – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ אינם מקבילים
$\displaystyle \underline{x}=\underline{p}+t\cdot\underline{u}+s\cdot\underline{v}$
משוואת מישור – $\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,c)}$ וקטור הנורמל
$\displaystyle ax+by+cz+d=0$
המישור שעובר דרך $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ווקטור הנורמל שלו $\displaystyle (a,b,c)$
$\displaystyle a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

מרחקים

המרחק של נקודה $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ממישור $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c\cdot z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
המרחק בין המישורים המקבילים $\displaystyle {ax+by+cz+d_1}={0}$ ו- $\displaystyle {ax+by+cz+d_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

זוויות

הזווית בין שני ישרים – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ וקטורי הכיוון
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{u}\cdot\underline{v}|}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}$
הזווית בין הישר $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\cdot\underline{u}}$ למישור שהנורמל שלו $\displaystyle \underline{n}$
$\displaystyle \sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n}\cdot\underline{u}|}{|\underline{n}|\cdot|\underline{u}|}$
הזווית בין שני מישורים – $\displaystyle \underline{n_1}$ , $\displaystyle \underline{n_2}$ הנורמלים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}$