מרחקים במרחב

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 20 מתוך 23לימוד

מרחקים במרחב

מרחק בין צורות

המרחק בין שתי צורות (נקודה, ישר, מישור) הוא המרחק הקצר ביותר בין נקודה של האחת לנקודה של השנייה. הקטע הקצר ביותר מאונך לצורות: מנקודה לישר או למישור – האנך.

נקודה ומישור

$\displaystyle A$ נקודה במישור, $\displaystyle \underline{n}$ הנורמל, ו- $\displaystyle F$ עקב האנך מ- $\displaystyle P$ . $\displaystyle \overrightarrow{PF}$ מקביל ל- $\displaystyle \underline{n}$ , ו- $\displaystyle \overrightarrow{AF}\perp\underline{n}$ , ולכן $\displaystyle {|\underline{n}\cdot\overrightarrow{AP}|}={|\underline{n}\cdot\overrightarrow{FP}|}={|\underline{n}|\cdot PF}$ . כשמציבים את השיעורים מקבלים:

\displaystyle d

\displaystyle =

\displaystyle \frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c\cdot z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

המשוואה כתובה בצורה $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$ (המספר החופשי בצד שמאל). מישורים מקבילים $\displaystyle {ax+by+cz+d_1}={0}$ ו- $\displaystyle {ax+by+cz+d_2}={0}$ (עם אותם $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ ): $\displaystyle {d}={\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$ . ישר שמקביל למישור: המרחק של נקודה כלשהי שלו מהמישור.

דוגמה. $\displaystyle P(4,-2,0)$ והמישור $\displaystyle {2x-y+2z-1}={0}$ : $\displaystyle {d}={\frac{|8+2+0-1|}{\sqrt{4+1+4}}}={\frac{9}{3}}={3}$ – כמו שמצאנו בעזרת עקב האנך.

נקודה וישר

עקב האנך $\displaystyle X$ מ- $\displaystyle P$ לישר $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\underline{u}}$ הוא הנקודה שבה $\displaystyle \overrightarrow{PX}\perp\underline{u}$ :

כותבים $\displaystyle {X}={\underline{v}+t\underline{u}}$ ופותרים $\displaystyle {(X-P)\cdot\underline{u}}={0}$ – משוואה ב- $\displaystyle t$ ;
המרחק הוא $\displaystyle |\overrightarrow{PX}|$ .

ישרים מקבילים: המרחק של נקודה של האחד מהשני.

ישרים מצטלבים

דרך הישר $\displaystyle \ell_1$ עובר מישור אחד שמקביל ל- $\displaystyle \ell_2$ : הנורמל שלו מאונך לשני וקטורי הכיוון. המרחק בין הישרים הוא המרחק של נקודה כלשהי של $\displaystyle \ell_2$ מהמישור הזה.

דוגמה. $\displaystyle {\ell_1:\ \underline{x}}={(1,0,2)+t(1,1,1)}$ , $\displaystyle {\ell_2:\ \underline{x}}={(0,1,0)+s(1,0,1)}$ .

$\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,1)}$ : $\displaystyle {a+b+1}={0}$ , $\displaystyle {a+1}={0}$ , ולכן $\displaystyle {\underline{n}}={(-1,0,1)}$ .
המישור דרך $\displaystyle (1,0,2)$ : $\displaystyle {-(x-1)+(z-2)}={0}$ , כלומר $\displaystyle {x-z+1}={0}$ .
המרחק של $\displaystyle (0,1,0)$ : $\displaystyle {d}={\frac{|0-0+1|}{\sqrt{2}}}={\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

תרגיל 1

מהו המרחק של $\displaystyle P(1,2,3)$ מהמישור $\displaystyle {2x-y+2z-1}={0}$ ?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

מהו המרחק בין המישורים המקבילים $\displaystyle {2x-y+2z}={1}$ ו- $\displaystyle {4x-2y+4z}={20}$ ? (רמז: חלקו את המשוואה השנייה ב-2.)

תרגיל 3

הנקודה $\displaystyle P(3,1,4)$ והישר $\displaystyle {\underline{x}}={(1,0,0)+t(1,1,1)}$ .

מצאו את $\displaystyle t$ של עקב האנך.

עקב האנך

\displaystyle X

המרחק

\displaystyle |\overrightarrow{PX}|

תרגיל 4

הישר $\displaystyle {\underline{x}}={(1,2,3)+t(2,-1,1)}$ מקביל למישור $\displaystyle {x+y-z}={6}$ (ראיתם זאת בשיעור הקודם).
מהו המרחק ביניהם?

תרגיל 5

$\displaystyle {\ell_1:\ \underline{x}}={(0,0,1)+t(1,2,0)}$ , $\displaystyle {\ell_2:\ \underline{x}}={(1,0,0)+s(0,1,1)}$ .

הראו שהישרים מצטלבים.

$\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,1)}$ מאונך לשני וקטורי הכיוון. מצאו את $\displaystyle a$ ואת $\displaystyle b$ .

המרחק בין הישרים

נוסחאות: וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גופים במרחב

נפח מנסרה וגליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
שטח המעטפת של חרוט ישר – $\displaystyle R$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle \ell$ הקו היוצר
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\ell$
נפח כדור – $\displaystyle R$ רדיוס הכדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^2$
האלכסון של תיבה שמידותיה $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

טריגונומטריה במשולש

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
וקטורים קולינאריים (מקבילים)
$\displaystyle \underline{v}=t\cdot\underline{u}$
הנקודה $\displaystyle M$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle m:n$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ $\displaystyle AM:MB=m:n$
$\displaystyle M$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

המכפלה הסקלרית

אורך וקטור $\displaystyle {\underline{u}}={(u_1,u_2,u_3)}$
$\displaystyle |\underline{u}|=\sqrt{\underline{u}\cdot\underline{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$
מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$
מכפלה סקלרית – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\underline{u}+\underline{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underline{u}^2+2\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}^2$

נקודות ווקטורים במערכת צירים

וקטור בין שתי נקודות
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle AB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

ישר ומישור

ישר – $\displaystyle \underline{v}$ נקודה על הישר, $\displaystyle \underline{u}$ וקטור הכיוון
$\displaystyle \underline{x}=\underline{v}+t\cdot\underline{u}$
מישור בהצגה פרמטרית – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ אינם מקבילים
$\displaystyle \underline{x}=\underline{p}+t\cdot\underline{u}+s\cdot\underline{v}$
משוואת מישור – $\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,c)}$ וקטור הנורמל
$\displaystyle ax+by+cz+d=0$
המישור שעובר דרך $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ווקטור הנורמל שלו $\displaystyle (a,b,c)$
$\displaystyle a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

מרחקים

המרחק של נקודה $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ממישור $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c\cdot z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
המרחק בין המישורים המקבילים $\displaystyle {ax+by+cz+d_1}={0}$ ו- $\displaystyle {ax+by+cz+d_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

זוויות

הזווית בין שני ישרים – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ וקטורי הכיוון
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{u}\cdot\underline{v}|}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}$
הזווית בין הישר $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\cdot\underline{u}}$ למישור שהנורמל שלו $\displaystyle \underline{n}$
$\displaystyle \sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n}\cdot\underline{u}|}{|\underline{n}|\cdot|\underline{u}|}$
הזווית בין שני מישורים – $\displaystyle \underline{n_1}$ , $\displaystyle \underline{n_2}$ הנורמלים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}$