דלג לתוכן

צירוף לינארי וחלוקת קטע

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 8 מתוך 23לימוד

צירוף לינארי וחלוקת קטע

צירוף לינארי

צירוף לינארי של הווקטורים u‾\displaystyle \underline{u} ו-v‾\displaystyle \underline{v} הוא וקטור מהצורה su‾+tv‾\displaystyle s\underline{u}+t\underline{v}, כש-s\displaystyle s ו-t\displaystyle t מספרים. באותו אופן su‾+tv‾+rw‾\displaystyle s\underline{u}+t\underline{v}+r\underline{w} הוא צירוף לינארי של שלושה וקטורים.

כדי להביע וקטור בצורה כזו, הולכים אליו בדרך שעוברת רק לאורך הווקטורים הנתונים – וכל קטע בדרך הוא כפולה של אחד מהם.

חלוקת קטע ביחס נתון

mnOABM

הנקודה M\displaystyle M על הקטע AB\displaystyle AB מחלקת אותו ביחס AM:MB=m:n\displaystyle {AM:MB}={m:n}. אז AM→=mm+nAB→\displaystyle {\overrightarrow{AM}}={\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}}, ולכל נקודה O\displaystyle O:

  • OM→=OA→+mm+n(OB→−OA→)\displaystyle {\overrightarrow{OM}}={\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)}, כלומר:
OM→\displaystyle \overrightarrow{OM} =\displaystyle = nm+nOA→+mm+nOB→\displaystyle \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}

שימו לב: המקדם של OA→\displaystyle \overrightarrow{OA} הוא החלק הרחוק מ-A\displaystyle A. כש-M\displaystyle M אמצע AB\displaystyle AB: OM→=12(OA→+OB→)\displaystyle {\overrightarrow{OM}}={\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)}.

דוגמה: במשולש

uvABCD

במשולש ABC\displaystyle ABC: AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, AC→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\underline{v}}.
הנקודה D\displaystyle D על BC\displaystyle BC, ו-BD:DC=1:3\displaystyle {BD:DC}={1:3}.
הביעו את AD→\displaystyle \overrightarrow{AD} באמצעות u‾\displaystyle \underline{u} ו-v‾\displaystyle \underline{v}.

  • לפי חלוקת קטע, מהנקודה A\displaystyle A: AD→=34AB→+14AC→=34u‾+14v‾\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}}={\frac{3}{4}\underline{u}+\frac{1}{4}\underline{v}}.
  • בדרך אחרת: AD→=AB→+14BC→=u‾+14(v‾−u‾)\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}}={\underline{u}+\frac{1}{4}(\underline{v}-\underline{u})} – ואחרי פישוט, אותה תוצאה.

כש-D\displaystyle D אמצע BC\displaystyle BC, AD\displaystyle AD הוא התיכון: AD→=12(u‾+v‾)\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})}. מפגש התיכונים G\displaystyle G נמצא 23\displaystyle \frac{2}{3} מהדרך מ-A\displaystyle A, ולכן AG→=13(u‾+v‾)\displaystyle {\overrightarrow{AG}}={\frac{1}{3}(\underline{u}+\underline{v})}.

דוגמה: בתיבה

uvwABCDA′B′C′D′M

בתיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D': AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, AD→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}, AA′→=w‾\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\underline{w}}.

  • AC′→=u‾+v‾+w‾\displaystyle {\overrightarrow{AC'}}={\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}}: לאורך AB\displaystyle AB, אחר כך BC\displaystyle BC (ששווה ל-v‾\displaystyle \underline{v}), ואחר כך CC′\displaystyle CC' (ששווה ל-w‾\displaystyle \underline{w}).
  • BD′→=−u‾+v‾+w‾\displaystyle {\overrightarrow{BD'}}={-\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}}.
  • M\displaystyle M מרכז הפאה העליונה, אמצע האלכסון A′C′\displaystyle A'C': AM→=w‾+12(u‾+v‾)\displaystyle {\overrightarrow{AM}}={\underline{w}+\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})}.
תרגיל 1

במשולש ABC\displaystyle ABC: AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, AC→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\underline{v}}.
הנקודה D\displaystyle D על BC\displaystyle BC, ו-BD:DC=2:1\displaystyle {BD:DC}={2:1}.
הביעו את AD→\displaystyle \overrightarrow{AD} באמצעות u‾\displaystyle \underline{u} ו-v‾\displaystyle \underline{v}.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    באותה תיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D': AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, AD→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}, AA′→=w‾\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\underline{w}}.
    N\displaystyle N אמצע המקצוע B′C′\displaystyle B'C'.
    הביעו באמצעות u‾\displaystyle \underline{u}, v‾\displaystyle \underline{v}, w‾\displaystyle \underline{w}:

    א
    AN→\displaystyle \overrightarrow{AN}

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ב
      D′N→\displaystyle \overrightarrow{D'N}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ג
        NC→\displaystyle \overrightarrow{NC}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          abcABCD

          בטטראדר ABCD\displaystyle ABCD: AB→=a‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{a}}, BC→=b‾\displaystyle {\overrightarrow{BC}}={\underline{b}}, AD→=c‾\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{c}}.

          א
          AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב
            BD→\displaystyle \overrightarrow{BD}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג
              CD→\displaystyle \overrightarrow{CD}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ד
                AC→+BD→\displaystyle \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ה

                  הוכיחו ש-AC→+BD→=AD→+BC→\displaystyle {\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}}={\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}}. האם ההוכחה נכונה גם כשהנקודות A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C, D\displaystyle D באותו מישור?

                  תרגיל 4

                  ABCDSM

                  הבסיס של הפירמידה SABCD\displaystyle SABCD הוא מקבילית. AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, AD→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}, AS→=w‾\displaystyle {\overrightarrow{AS}}={\underline{w}}.
                  M\displaystyle M אמצע SC\displaystyle SC. הנקודה N\displaystyle N על SD\displaystyle SD, ו-SN:ND=1:2\displaystyle {SN:ND}={1:2}.

                  א
                  AM→\displaystyle \overrightarrow{AM}

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב
                    AN→\displaystyle \overrightarrow{AN}

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ג
                      NM→\displaystyle \overrightarrow{NM}

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה