תלות לינארית ויחידות ההצגה

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 9 מתוך 23לימוד

תלות לינארית ויחידות ההצגה

וקטורים קולינאריים

שני וקטורים $\displaystyle \underline{u}\neq\underline{0}$ ו- $\displaystyle \underline{v}$ מקבילים (קולינאריים) אם ורק אם $\displaystyle {\underline{v}}={t\cdot\underline{u}}$ למספר $\displaystyle t$ כלשהו.

מכאן שלוש נקודות $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ נמצאות על ישר אחד אם ורק אם $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={t\cdot\overrightarrow{AB}}$ : שני הווקטורים מקבילים, ויש להם נקודה משותפת $\displaystyle A$ .

תלות לינארית

וקטור תלוי לינארית בקבוצת וקטורים, אם אפשר להביע אותו כצירוף לינארי שלהם.
קבוצת וקטורים בלתי תלויה לינארית, אם אף וקטור בה אינו צירוף לינארי של האחרים.

מה זה אומר בציור:

שני וקטורים תלויים – הם קולינאריים.
שלושה וקטורים תלויים – הם במישור אחד (או במישורים מקבילים).
כל שלושה וקטורים במישור תלויים, וכל ארבעה וקטורים במרחב תלויים.

יחידות ההצגה

במישור: אם $\displaystyle \underline{u}$ ו- $\displaystyle \underline{v}$ בלתי תלויים, כל וקטור במישור הוא צירוף לינארי $\displaystyle s\underline{u}+t\underline{v}$ בדרך אחת בלבד.
במרחב: אם $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ , $\displaystyle \underline{w}$ בלתי תלויים, כל וקטור הוא $\displaystyle s\underline{u}+t\underline{v}+r\underline{w}$ בדרך אחת בלבד.

הסיבה, במישור: אם $\displaystyle {s\underline{u}+t\underline{v}}={s'\underline{u}+t'\underline{v}}$ ו- $\displaystyle s\neq s'$ , אז $\displaystyle {\underline{u}}={\frac{t'-t}{s-s'}\underline{v}}$ – כלומר $\displaystyle \underline{u}$ ו- $\displaystyle \underline{v}$ תלויים.

השוואת מקדמים: מביעים אותו וקטור בשתי דרכים בעזרת וקטורים בלתי תלויים, ומשווים את המקדמים של כל וקטור. כך מוצאים יחסים בין קטעים.

דוגמה: נקודת מפגש

$\displaystyle ABCD$ מקבילית, $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}$ .
$\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle BC$ . הקטעים $\displaystyle AE$ ו- $\displaystyle BD$ נפגשים בנקודה $\displaystyle K$ .
באיזה יחס $\displaystyle K$ מחלקת את $\displaystyle AE$ ואת $\displaystyle BD$ ?

בפתרון שלפניכם נביע את $\displaystyle \overrightarrow{AK}$ בשתי דרכים, ונשווה מקדמים.

$\displaystyle K$ על $\displaystyle AE$ : $\displaystyle {\overrightarrow{AK}}={t\cdot\overrightarrow{AE}}={t\left(\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}\right)}={t\underline{u}+\frac{t}{2}\underline{v}}$ .
$\displaystyle K$ על $\displaystyle BD$ : $\displaystyle {\overrightarrow{AK}}={\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{BD}}={\underline{u}+s(\underline{v}-\underline{u})}={(1-s)\underline{u}+s\underline{v}}$ .
$\displaystyle \underline{u}$ ו- $\displaystyle \underline{v}$ בלתי תלויים, ולכן המקדמים שווים: $\displaystyle {t}={1-s}$ ו- $\displaystyle {\frac{t}{2}}={s}$ .
פתרון המערכת: $\displaystyle {t}={\frac{2}{3}}$ , $\displaystyle {s}={\frac{1}{3}}$ . לכן $\displaystyle {AK:KE}={2:1}$ ו- $\displaystyle {BK:KD}={1:2}$ .

דוגמה: שלוש נקודות על ישר

$\displaystyle ABCD$ מקבילית, $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}$ .
$\displaystyle E$ על $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle {AE}={\frac{1}{3}AB}$ ; $\displaystyle F$ על $\displaystyle AC$ ו- $\displaystyle {AF}={\frac{1}{4}AC}$ .
הוכיחו ש- $\displaystyle D$ , $\displaystyle F$ , $\displaystyle E$ על ישר אחד.

$\displaystyle {\overrightarrow{DE}}={\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}}={\frac{1}{3}\underline{u}-\underline{v}}$ .
$\displaystyle {\overrightarrow{DF}}={\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD}}={\frac{1}{4}(\underline{u}+\underline{v})-\underline{v}}={\frac{1}{4}\underline{u}-\frac{3}{4}\underline{v}}$ .
$\displaystyle {\overrightarrow{DF}}={\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}\underline{u}-\underline{v}\right)}={\frac{3}{4}\overrightarrow{DE}}$ : הווקטורים קולינאריים ויוצאים מ- $\displaystyle D$ , ולכן $\displaystyle D$ , $\displaystyle F$ , $\displaystyle E$ על ישר אחד, ו- $\displaystyle {DF:FE}={3:1}$ .

תרגיל 1

במשולש $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\underline{v}}$ .
$\displaystyle M$ אמצע $\displaystyle BC$ ו- $\displaystyle N$ אמצע $\displaystyle AC$ . התיכונים $\displaystyle AM$ ו- $\displaystyle BN$ נפגשים בנקודה $\displaystyle G$ .

\displaystyle {\overrightarrow{AG}}={t\cdot\overrightarrow{AM}}

– באמצעות

\displaystyle t

\displaystyle \underline{u}

\displaystyle \underline{v}

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle {\overrightarrow{AG}}={\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{BN}}

– באמצעות

\displaystyle s

\displaystyle \underline{u}

\displaystyle \underline{v}

השוו מקדמים, ופתרו את המערכת.

באיזה יחס $\displaystyle G$ מחלקת את התיכון $\displaystyle AM$ ?

תרגיל 2

$\displaystyle {\overrightarrow{OA}}={\underline{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{OB}}={\underline{v}}$ , ו- $\displaystyle {\overrightarrow{OC}}={3\underline{u}-2\underline{v}}$ , כש- $\displaystyle \underline{u}$ ו- $\displaystyle \underline{v}$ בלתי תלויים.

\displaystyle \overrightarrow{AB}

\displaystyle \overrightarrow{AC}

האם $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ על ישר אחד? נמקו.

תרגיל 3

$\displaystyle \underline{u}$ ו- $\displaystyle \underline{v}$ בלתי תלויים, ו- $\displaystyle {(s+1)\underline{u}+(2t-3)\underline{v}}={4\underline{u}-\underline{v}}$ .
מצאו את $\displaystyle s$ ואת $\displaystyle t$ .

תרגיל 4

בטטראדר $\displaystyle ABCD$ : $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{b}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\underline{c}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{d}}$ .
$\displaystyle K$ , $\displaystyle L$ , $\displaystyle P$ , $\displaystyle Q$ , $\displaystyle R$ , $\displaystyle T$ הם אמצעי המקצועות $\displaystyle AB$ , $\displaystyle CD$ , $\displaystyle AC$ , $\displaystyle BD$ , $\displaystyle AD$ , $\displaystyle BC$ בהתאמה.
כל אחד מהקטעים $\displaystyle KL$ , $\displaystyle PQ$ , $\displaystyle RT$ מחבר אמצעים של שני מקצועות נגדיים.

\displaystyle \overrightarrow{AX}

, כש-

\displaystyle X

אמצע

\displaystyle KL

\displaystyle \overrightarrow{AY}

, כש-

\displaystyle Y

אמצע

\displaystyle PQ

\displaystyle \overrightarrow{AZ}

, כש-

\displaystyle Z

אמצע

\displaystyle RT

הוכיחו ששלושת הקטעים נפגשים בנקודה אחת, שחוצה כל אחד מהם.

נוסחאות: וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גופים במרחב

נפח מנסרה וגליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
שטח המעטפת של חרוט ישר – $\displaystyle R$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle \ell$ הקו היוצר
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\ell$
נפח כדור – $\displaystyle R$ רדיוס הכדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^2$
האלכסון של תיבה שמידותיה $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

טריגונומטריה במשולש

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
וקטורים קולינאריים (מקבילים)
$\displaystyle \underline{v}=t\cdot\underline{u}$
הנקודה $\displaystyle M$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle m:n$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ $\displaystyle AM:MB=m:n$
$\displaystyle M$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

המכפלה הסקלרית

אורך וקטור $\displaystyle {\underline{u}}={(u_1,u_2,u_3)}$
$\displaystyle |\underline{u}|=\sqrt{\underline{u}\cdot\underline{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$
מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$
מכפלה סקלרית – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\underline{u}+\underline{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underline{u}^2+2\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}^2$

נקודות ווקטורים במערכת צירים

וקטור בין שתי נקודות
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle AB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

ישר ומישור

ישר – $\displaystyle \underline{v}$ נקודה על הישר, $\displaystyle \underline{u}$ וקטור הכיוון
$\displaystyle \underline{x}=\underline{v}+t\cdot\underline{u}$
מישור בהצגה פרמטרית – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ אינם מקבילים
$\displaystyle \underline{x}=\underline{p}+t\cdot\underline{u}+s\cdot\underline{v}$
משוואת מישור – $\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,c)}$ וקטור הנורמל
$\displaystyle ax+by+cz+d=0$
המישור שעובר דרך $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ווקטור הנורמל שלו $\displaystyle (a,b,c)$
$\displaystyle a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

מרחקים

המרחק של נקודה $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ממישור $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c\cdot z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
המרחק בין המישורים המקבילים $\displaystyle {ax+by+cz+d_1}={0}$ ו- $\displaystyle {ax+by+cz+d_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

זוויות

הזווית בין שני ישרים – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ וקטורי הכיוון
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{u}\cdot\underline{v}|}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}$
הזווית בין הישר $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\cdot\underline{u}}$ למישור שהנורמל שלו $\displaystyle \underline{n}$
$\displaystyle \sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n}\cdot\underline{u}|}{|\underline{n}|\cdot|\underline{u}|}$
הזווית בין שני מישורים – $\displaystyle \underline{n_1}$ , $\displaystyle \underline{n_2}$ הנורמלים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}$