ישרים ומישורים במרחב

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 1 מתוך 23לימוד

ישרים ומישורים במרחב

קביעת מישור

מישור נקבע על ידי כל אחד מאלה:

שלוש נקודות שאינן על ישר אחד;
ישר ונקודה שמחוץ לו;
שני ישרים נחתכים;
שני ישרים מקבילים.

לכן שולחן בעל שלוש רגליים אף פעם אינו מתנדנד: קצות הרגליים הם שלוש נקודות, ודרכן עובר מישור אחד בלבד – הרצפה.

שני ישרים

לשני ישרים במרחב יש ארבעה מצבים הדדיים:

נחתכים – יש להם נקודה משותפת אחת, והם באותו מישור;
מקבילים – הם באותו מישור, ואין להם נקודה משותפת;
מתלכדים – זה אותו ישר;
מצטלבים – אין מישור שמכיל את שניהם: הם לא נפגשים, וגם אינם מקבילים.

בתיבה שבציור: $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle DC$ מקבילים, $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle BB'$ נחתכים, ו- $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CC'$ מצטלבים.

ישר ומישור

לישר ולמישור יש שלושה מצבים:

הישר מוכל במישור – כל הנקודות שלו במישור;
הישר חותך את המישור – יש להם נקודה משותפת אחת;
הישר מקביל למישור – אין להם נקודה משותפת.

ישר שמקביל לישר כלשהו במישור, ואינו מוכל בו, מקביל למישור. בתיבה: $\displaystyle A'B'$ מקביל למישור $\displaystyle ABCD$ , כי $\displaystyle A'B'\parallel AB$ .

שני מישורים

שני מישורים שונים הם מקבילים (אין להם נקודה משותפת) או נחתכים לאורך ישר – ישר החיתוך.

בתיבה: המישורים $\displaystyle ABCD$ ו- $\displaystyle A'B'C'D'$ מקבילים, והמישורים $\displaystyle ABCD$ ו- $\displaystyle BCC'B'$ נחתכים לאורך $\displaystyle BC$ .

ישר מאונך למישור

ישר מאונך למישור כשהוא מאונך לכל ישר במישור שעובר דרך נקודת החיתוך שלהם, העקב של הישר.

לבדוק את כל הישרים במישור אי אפשר, ולכן משתמשים במשפט:

ישר מאונך למישור אם ורק אם הוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור שעוברים דרך העקב שלו.

נוכיח אותו בעזרת וקטורים בשיעור על שימושי המכפלה הסקלרית. בתיבה: $\displaystyle AA'\perp AB$ ו- $\displaystyle AA'\perp AD$ , ולכן $\displaystyle AA'$ מאונך למישור $\displaystyle ABCD$ – ובפרט $\displaystyle AA'\perp AC$ .

דוגמה: אלכסון התיבה

בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ : $\displaystyle {AB}={3}$ , $\displaystyle {AD}={4}$ , $\displaystyle {AA'}={12}$ .
חשבו את אורך האלכסון $\displaystyle AC'$ .

בפתרון שלפניכם נחשב קודם את $\displaystyle AC$ במשולש $\displaystyle ABC$ , ואחר כך את $\displaystyle AC'$ במשולש $\displaystyle ACC'$ .

במשולש ישר הזווית $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {AC^2}={3^2+4^2}={25}$ , $\displaystyle {AC}={5}$ .
$\displaystyle CC'$ מאונך למישור הבסיס, ולכן $\displaystyle CC'\perp AC$ : המשולש $\displaystyle ACC'$ ישר זווית.
$\displaystyle {AC'^2}={AC^2+CC'^2}={25+144}={169}$ , ולכן $\displaystyle {AC'}={13}$ .

בכל תיבה שמידותיה $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ :

\displaystyle d

\displaystyle =

\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}

תרגיל 1

מהו המצב ההדדי של כל זוג ישרים בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ ? נמקו.

$\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle C'D'$
$\displaystyle AD$ ו- $\displaystyle CC'$
$\displaystyle A'C$ ו- $\displaystyle BD'$
$\displaystyle AC$ ו- $\displaystyle B'D'$

תרגיל 2

מהו המצב ההדדי של הישר והמישור באותה תיבה? נמקו.

$\displaystyle B'D'$ והמישור $\displaystyle ABCD$
$\displaystyle AC'$ והמישור $\displaystyle ABCD$
$\displaystyle C'D'$ והמישור $\displaystyle ABC'D'$

תרגיל 3

אורך המקצוע של קובייה הוא 6.
חשבו את אורך האלכסון שלה, מדויק.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 4

בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ : $\displaystyle {AB}={2}$ , $\displaystyle {AD}={3}$ , והאלכסון $\displaystyle {AC'}={7}$ .
חשבו את הגובה $\displaystyle AA'$ .

נוסחאות: וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גופים במרחב

נפח מנסרה וגליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
שטח המעטפת של חרוט ישר – $\displaystyle R$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle \ell$ הקו היוצר
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\ell$
נפח כדור – $\displaystyle R$ רדיוס הכדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^2$
האלכסון של תיבה שמידותיה $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

טריגונומטריה במשולש

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
וקטורים קולינאריים (מקבילים)
$\displaystyle \underline{v}=t\cdot\underline{u}$
הנקודה $\displaystyle M$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle m:n$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ $\displaystyle AM:MB=m:n$
$\displaystyle M$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

המכפלה הסקלרית

אורך וקטור $\displaystyle {\underline{u}}={(u_1,u_2,u_3)}$
$\displaystyle |\underline{u}|=\sqrt{\underline{u}\cdot\underline{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$
מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$
מכפלה סקלרית – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\underline{u}+\underline{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underline{u}^2+2\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}^2$

נקודות ווקטורים במערכת צירים

וקטור בין שתי נקודות
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle AB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

ישר ומישור

ישר – $\displaystyle \underline{v}$ נקודה על הישר, $\displaystyle \underline{u}$ וקטור הכיוון
$\displaystyle \underline{x}=\underline{v}+t\cdot\underline{u}$
מישור בהצגה פרמטרית – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ אינם מקבילים
$\displaystyle \underline{x}=\underline{p}+t\cdot\underline{u}+s\cdot\underline{v}$
משוואת מישור – $\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,c)}$ וקטור הנורמל
$\displaystyle ax+by+cz+d=0$
המישור שעובר דרך $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ווקטור הנורמל שלו $\displaystyle (a,b,c)$
$\displaystyle a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

מרחקים

המרחק של נקודה $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ממישור $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c\cdot z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
המרחק בין המישורים המקבילים $\displaystyle {ax+by+cz+d_1}={0}$ ו- $\displaystyle {ax+by+cz+d_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

זוויות

הזווית בין שני ישרים – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ וקטורי הכיוון
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{u}\cdot\underline{v}|}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}$
הזווית בין הישר $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\cdot\underline{u}}$ למישור שהנורמל שלו $\displaystyle \underline{n}$
$\displaystyle \sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n}\cdot\underline{u}|}{|\underline{n}|\cdot|\underline{u}|}$
הזווית בין שני מישורים – $\displaystyle \underline{n_1}$ , $\displaystyle \underline{n_2}$ הנורמלים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}$