הצגה פרמטרית של ישר

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 16 מתוך 23לימוד

הצגה פרמטרית של ישר

ישר כנקודה ועוד כפולות של כיוון

כל נקודה $\displaystyle X$ על הישר שעובר דרך $\displaystyle A$ בכיוון $\displaystyle \underline{u}$ מקיימת $\displaystyle {\overrightarrow{AX}}={t\underline{u}}$ למספר $\displaystyle t$ כלשהו. לכן:

\displaystyle \underline{x}

\displaystyle =

\displaystyle \underline{v}+t\cdot\underline{u}

$\displaystyle \underline{v}$ – וקטור המקום של נקודה על הישר; $\displaystyle \underline{u}\neq\underline{0}$ – וקטור הכיוון; $\displaystyle t$ – הפרמטר.
כל מספר $\displaystyle t$ נותן נקודה אחת: $\displaystyle {t}={0}$ נותן את $\displaystyle A$ , $\displaystyle {t}={1}$ את $\displaystyle A+\underline{u}$ , $\displaystyle {t}={-1}$ את $\displaystyle A-\underline{u}$ .
ישר דרך שתי נקודות $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ : $\displaystyle {\underline{x}}={A+t(B-A)}$ .
לאותו ישר יש הצגות רבות: כל נקודה עליו, וכל כפולה של $\displaystyle \underline{u}$ (חוץ מ-0) ככיוון.

לדוגמה, $\displaystyle {\underline{x}}={(1,2,3)+t(2,0,-1)}$ ו- $\displaystyle {\underline{x}}={(3,2,2)+s(-4,0,2)}$ הם אותו ישר: $\displaystyle (3,2,2)$ מתקבלת עבור $\displaystyle {t}={1}$ , ו- $\displaystyle {(-4,0,2)}={-2(2,0,-1)}$ . במישור זה אותו דבר, עם שני שיעורים: $\displaystyle {\underline{x}}={(0,1)+t(1,2)}$ הוא הישר $\displaystyle {y}={2x+1}$ .

נקודה על ישר

הנקודה $\displaystyle P$ על הישר אם יש $\displaystyle t$ אחד שנותן את כל שלושת השיעורים שלה.
האם $\displaystyle P(5,2,1)$ על הישר $\displaystyle {\underline{x}}={(1,2,3)+t(2,0,-1)}$ ?

$\displaystyle {(1+2t,\ 2,\ 3-t)}={(5,2,1)}$ : מהשיעור הראשון $\displaystyle {t}={2}$ , ומהשלישי $\displaystyle {t}={2}$ ; השיעור השני מתקיים לכל $\displaystyle t$ .
לכן $\displaystyle P$ על הישר, עבור $\displaystyle {t}={2}$ . בנקודה $\displaystyle (5,2,2)$ השיעור השלישי נותן $\displaystyle {t}={1}$ , והיא אינה על הישר.

המצב ההדדי של שני ישרים

לישרים $\displaystyle {\underline{x}}={A+t\underline{u}}$ ו- $\displaystyle {\underline{x}}={B+s\underline{v}}$ :

וקטורי הכיוון מקבילים ( $\displaystyle {\underline{v}}={k\underline{u}}$ ): הישרים מתלכדים אם $\displaystyle B$ על הישר הראשון, ואחרת מקבילים.
וקטורי הכיוון אינם מקבילים: פותרים את $\displaystyle {A+t\underline{u}}={B+s\underline{v}}$ $A + t \underline{u} = B + s \underline{v}$ – שלוש משוואות בשני נעלמים.
- יש פתרון – הישרים נחתכים, ונקודת החיתוך מתקבלת מ- $\displaystyle t$ ;
- אין פתרון – הישרים מצטלבים.

דוגמה: ישרים נחתכים

$\displaystyle {\ell_1:\ \underline{x}}={(1,2,3)+t(1,0,1)}$ , $\displaystyle {\ell_2:\ \underline{x}}={(2,1,0)+s(0,1,4)}$ .
מהו המצב ההדדי שלהם?

$\displaystyle (1,0,1)$ ו- $\displaystyle (0,1,4)$ אינם מקבילים.
$\displaystyle {(1+t,\ 2,\ 3+t)}={(2,\ 1+s,\ 4s)}$ : $\displaystyle {1+t}={2}$ , $\displaystyle {2}={1+s}$ , $\displaystyle {3+t}={4s}$ .
משתי המשוואות הראשונות $\displaystyle {t}={1}$ , $\displaystyle {s}={1}$ , והשלישית מתקיימת: $\displaystyle {4}={4}$ .
הישרים נחתכים בנקודה $\displaystyle (2,2,4)$ .

תרגיל 1

הישר שעובר דרך $\displaystyle A(1,-2,3)$ ו- $\displaystyle B(3,0,2)$ הוא $\displaystyle {\underline{x}}={A+t(B-A)}$ .
כתבו אותו עם וקטור כיוון מחושב, ואחר כך בהצגה אחרת: דרך $\displaystyle B$ , עם וקטור כיוון נגדי.

תרגיל 2

האם הנקודה על הישר $\displaystyle {\underline{x}}={(1,-2,3)+t(2,2,-1)}$ ? פתרו.

\displaystyle P(5,2,1)

\displaystyle Q(3,0,3)

תרגיל 3

מהו המצב ההדדי של הישרים? אם הם נחתכים, מצאו את נקודת החיתוך.

$\displaystyle {\underline{x}}={(2,0,1)+t(1,2,-1)}$ , $\displaystyle {\underline{x}}={(1,0,2)+s(1,1,-1)}$

$\displaystyle {\underline{x}}={(1,0,2)+t(1,1,1)}$ , $\displaystyle {\underline{x}}={(0,1,0)+s(1,0,1)}$

כתבו את המסקנה בכל סעיף, ובסעיף 1 – את נקודת החיתוך.

תרגיל 4

$\displaystyle {\ell_1:\ \underline{x}}={(1,1,0)+t(2,-4,6)}$ , $\displaystyle {\ell_2:\ \underline{x}}={(3,-3,6)+s(-1,2,-3)}$ , $\displaystyle {\ell_3:\ \underline{x}}={s(1,-2,3)}$ .

האם

\displaystyle (3,-3,6)

על

\displaystyle \ell_1

האם

\displaystyle (0,0,0)

על

\displaystyle \ell_1

מהו המצב ההדדי של $\displaystyle \ell_1$ ו- $\displaystyle \ell_2$ , ושל $\displaystyle \ell_1$ ו- $\displaystyle \ell_3$ ? נמקו.

נוסחאות: וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גופים במרחב

נפח מנסרה וגליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
שטח המעטפת של חרוט ישר – $\displaystyle R$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle \ell$ הקו היוצר
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\ell$
נפח כדור – $\displaystyle R$ רדיוס הכדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^2$
האלכסון של תיבה שמידותיה $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

טריגונומטריה במשולש

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
וקטורים קולינאריים (מקבילים)
$\displaystyle \underline{v}=t\cdot\underline{u}$
הנקודה $\displaystyle M$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle m:n$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ $\displaystyle AM:MB=m:n$
$\displaystyle M$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

המכפלה הסקלרית

אורך וקטור $\displaystyle {\underline{u}}={(u_1,u_2,u_3)}$
$\displaystyle |\underline{u}|=\sqrt{\underline{u}\cdot\underline{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$
מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$
מכפלה סקלרית – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\underline{u}+\underline{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underline{u}^2+2\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}^2$

נקודות ווקטורים במערכת צירים

וקטור בין שתי נקודות
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle AB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

ישר ומישור

ישר – $\displaystyle \underline{v}$ נקודה על הישר, $\displaystyle \underline{u}$ וקטור הכיוון
$\displaystyle \underline{x}=\underline{v}+t\cdot\underline{u}$
מישור בהצגה פרמטרית – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ אינם מקבילים
$\displaystyle \underline{x}=\underline{p}+t\cdot\underline{u}+s\cdot\underline{v}$
משוואת מישור – $\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,c)}$ וקטור הנורמל
$\displaystyle ax+by+cz+d=0$
המישור שעובר דרך $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ווקטור הנורמל שלו $\displaystyle (a,b,c)$
$\displaystyle a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

מרחקים

המרחק של נקודה $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ממישור $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c\cdot z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
המרחק בין המישורים המקבילים $\displaystyle {ax+by+cz+d_1}={0}$ ו- $\displaystyle {ax+by+cz+d_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

זוויות

הזווית בין שני ישרים – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ וקטורי הכיוון
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{u}\cdot\underline{v}|}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}$
הזווית בין הישר $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\cdot\underline{u}}$ למישור שהנורמל שלו $\displaystyle \underline{n}$
$\displaystyle \sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n}\cdot\underline{u}|}{|\underline{n}|\cdot|\underline{u}|}$
הזווית בין שני מישורים – $\displaystyle \underline{n_1}$ , $\displaystyle \underline{n_2}$ הנורמלים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}$