מישור: הצגה פרמטרית ומשוואה

מישור שעובר דרך הנקודה $\displaystyle P$, ושני וקטורים בלתי תלויים $\displaystyle \underline{u}$, $\displaystyle \underline{v}$ מקבילים לו: כל וקטור במישור הוא צירוף לינארי שלהם, ולכן כל נקודה במישור היא

עם שני פרמטרים, $\displaystyle t$ ו-$\displaystyle s$. מישור דרך שלוש נקודות $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ שאינן על ישר אחד: $\displaystyle {\underline{x}}={A+t(B-A)+s(C-A)}$.

וקטור $\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,c)}$ שמאונך למישור נקרא וקטור הנורמל שלו. הנקודה $\displaystyle X(x,y,z)$ במישור שעובר דרך $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ אם ורק אם $\displaystyle \overrightarrow{PX}$ במישור, כלומר $\displaystyle {\underline{n}\cdot\overrightarrow{PX}}={0}$:

אחרי פתיחת סוגריים: $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$. המקדמים של $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ הם הנורמל – למשל, הנורמל של $\displaystyle {2x-y+3z}={6}$ הוא $\displaystyle (2,-1,3)$.

מהצגה פרמטרית למשוואה: הנורמל מאונך ל-$\displaystyle \underline{u}$ ול-$\displaystyle \underline{v}$.

• $\displaystyle {\underline{n}\cdot\underline{u}}={0}$ ו-$\displaystyle {\underline{n}\cdot\underline{v}}={0}$: שתי משוואות בשלושה נעלמים $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$.
• כל כפולה של נורמל היא נורמל, ולכן אפשר לבחור אחד הנעלמים (למשל $\displaystyle {c}={1}$) ולפתור את שני האחרים.
• מציבים את $\displaystyle \underline{n}$ ונקודה של המישור ב-$\displaystyle {a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)}={0}$.

מצאו את משוואת המישור שעובר דרך $\displaystyle A(1,0,0)$, $\displaystyle B(0,2,0)$, $\displaystyle C(0,0,3)$.

• $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={(-1,2,0)}$, $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={(-1,0,3)}$.
• $\displaystyle {\underline{n}\cdot\overrightarrow{AB}}={-a+2b}={0}$, $\displaystyle {\underline{n}\cdot\overrightarrow{AC}}={-a+3c}={0}$. נבחר $\displaystyle {a}={6}$: $\displaystyle {b}={3}$, $\displaystyle {c}={2}$.
• $\displaystyle {6(x-1)+3y+2z}={0}$, כלומר $\displaystyle {6x+3y+2z}={6}$.
• בדיקה: $\displaystyle B$ נותנת $\displaystyle 6$, ו-$\displaystyle C$ נותנת $\displaystyle 6$.

נקודות החיתוך עם הצירים: על ציר $\displaystyle x$ – $\displaystyle {y}={z}={0}$; על ציר $\displaystyle y$ – $\displaystyle {x}={z}={0}$; על ציר $\displaystyle z$ – $\displaystyle {x}={y}={0}$.

• $\displaystyle {z}={0}$ – המישור $\displaystyle xy$; $\displaystyle {z}={3}$ – מישור מקביל לו, בגובה 3. הנורמל $\displaystyle (0,0,1)$.
• $\displaystyle {x+y}={4}$ – אין בו $\displaystyle z$: הנורמל $\displaystyle (1,1,0)$ מאונך לציר $\displaystyle z$, ולכן המישור מקביל לציר $\displaystyle z$.
• $\displaystyle {ax+by+cz}={0}$ (בלי מספר חופשי) – המישור עובר דרך הראשית.

כתבו את משוואת המישור שעובר דרך $\displaystyle A(1,1,1)$ ווקטור הנורמל שלו $\displaystyle (2,-1,3)$, בצורה $\displaystyle {ax+by+cz}={d}$.

מצאו את משוואת המישור שעובר דרך $\displaystyle A(1,0,2)$, $\displaystyle B(2,1,0)$, $\displaystyle C(0,3,1)$.

$\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,1)}$. כתבו $\displaystyle {\underline{n}\cdot\overrightarrow{AB}}={0}$ ו-$\displaystyle {\underline{n}\cdot\overrightarrow{AC}}={0}$, ופתרו.

המישור בהצגה פרמטרית – כתבו את משוואתו.

המישור $\displaystyle {2x+3y+6z}={12}$.

1. באילו נקודות הוא חותך את הצירים?
2. כתבו את וקטור הנורמל שלו, ושני וקטורים שמקבילים לו.

האם הנקודה $\displaystyle (1,2,3)$ במישור $\displaystyle {2x-y+3z}={9}$? הציבו.