דלג לתוכן

תרגול: וקטורים בגישה גאומטרית

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 11 מתוך 23תרגול

תרגול: וקטורים בגישה גאומטרית

1

ABCDEK

ABCD\displaystyle ABCD מקבילית, AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, AD→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}.
E\displaystyle E על CD\displaystyle CD, ו-DE:EC=1:2\displaystyle {DE:EC}={1:2}. הקטעים AE\displaystyle AE ו-BD\displaystyle BD נפגשים בנקודה K\displaystyle K.

א
AE→\displaystyle \overrightarrow{AE}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    הביעו את AK→\displaystyle \overrightarrow{AK} בשתי דרכים, השוו מקדמים ופתרו.

      ג

      באיזה יחס K\displaystyle K מחלקת את AE\displaystyle AE?

      2

      ABCDEP

      במשולש ABC\displaystyle ABC: AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, AC→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\underline{v}}.
      D\displaystyle D אמצע AB\displaystyle AB. E\displaystyle E על AC\displaystyle AC, ו-AE:EC=2:1\displaystyle {AE:EC}={2:1}. הקטעים BE\displaystyle BE ו-CD\displaystyle CD נפגשים בנקודה P\displaystyle P.

      א
      AP→=AB→+s⋅BE→\displaystyle {\overrightarrow{AP}}={\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{BE}}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב
        AP→=AC→+t⋅CD→\displaystyle {\overrightarrow{AP}}={\overrightarrow{AC}+t\cdot\overrightarrow{CD}}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ג

          השוו מקדמים ופתרו.

            ד

            מצאו את היחסים BP:PE\displaystyle BP:PE ו-CP:PD\displaystyle CP:PD.

            3

            בתיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D': AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, AD→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}, AA′→=w‾\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\underline{w}}.
            K\displaystyle K אמצע A′D′\displaystyle A'D', ו-L\displaystyle L מרכז הפאה BCC′B′\displaystyle BCC'B'.

            א
            AK→\displaystyle \overrightarrow{AK}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב
              AL→\displaystyle \overrightarrow{AL}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג
                KL→\displaystyle \overrightarrow{KL}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ד

                  האם KL\displaystyle KL מקביל למישור ABB′A′\displaystyle ABB'A'? נמקו.

                  4

                  ABCDA′B′C′D′

                  בקובייה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D': AB→=a‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{a}}, AD→=b‾\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{b}}, AA′→=c‾\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\underline{c}}.
                  אלכסוני הפאות שיוצאים מ-A\displaystyle A: v1‾=AC→\displaystyle {\underline{v_1}}={\overrightarrow{AC}}, v2‾=AB′→\displaystyle {\underline{v_2}}={\overrightarrow{AB'}}, v3‾=AD′→\displaystyle {\underline{v_3}}={\overrightarrow{AD'}}.

                  א

                  האם v3‾\displaystyle \underline{v_3} תלוי לינארית ב-v1‾\displaystyle \underline{v_1} וב-v2‾\displaystyle \underline{v_2}? נסו v3‾=sv1‾+tv2‾\displaystyle {\underline{v_3}}={s\underline{v_1}+t\underline{v_2}}, השוו את המקדמים של a‾\displaystyle \underline{a}, b‾\displaystyle \underline{b}, c‾\displaystyle \underline{c}, ופתרו.

                    ב
                    הראו ש-12(v1‾+v2‾+v3‾)=AC′→\displaystyle {\frac{1}{2}(\underline{v_1}+\underline{v_2}+\underline{v_3})}={\overrightarrow{AC'}}: כתבו את הצד השמאלי באמצעות a‾\displaystyle \underline{a}, b‾\displaystyle \underline{b}, c‾\displaystyle \underline{c} ופשטו

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      5

                      OA→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{OA}}={\underline{u}}, OB→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{OB}}={\underline{v}}, OC→=2u‾+kv‾\displaystyle {\overrightarrow{OC}}={2\underline{u}+k\underline{v}}, כש-u‾\displaystyle \underline{u} ו-v‾\displaystyle \underline{v} בלתי תלויים.
                      עבור איזה k\displaystyle k הנקודות A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C על ישר אחד? כתבו AC→=t⋅AB→\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={t\cdot\overrightarrow{AB}}, השוו מקדמים ופתרו.