מצבים הדדיים של ישרים ומישורים

מציבים את הנקודה הכללית של הישר, $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\underline{u}}$, במשוואת המישור. מתקבלת משוואה ממעלה ראשונה ב-$\displaystyle t$:

• פתרון אחד – הישר חותך את המישור, והפתרון נותן את נקודת החיתוך;
• אין פתרון – הישר מקביל למישור;
• כל $\displaystyle t$ פתרון – הישר מוכל במישור.

בשני המקרים האחרונים $\displaystyle t$ נעלם מהמשוואה, כי $\displaystyle {\underline{n}\cdot\underline{u}}={0}$: וקטור הכיוון מאונך לנורמל.

מצאו את נקודת החיתוך של הישר $\displaystyle {\underline{x}}={(1,2,3)+t(2,-1,1)}$ עם המישור $\displaystyle {2x+y-z}={7}$.

• הנקודה הכללית: $\displaystyle (1+2t,\ 2-t,\ 3+t)$.
• $\displaystyle {2(1+2t)+(2-t)-(3+t)}={7}$, כלומר $\displaystyle {1+2t}={7}$, ו-$\displaystyle {t}={3}$.
• נקודת החיתוך: $\displaystyle (7,-1,6)$. בדיקה: $\displaystyle {14-1-6}={7}$.

עם המישור $\displaystyle {x+y-z}={6}$ מקבלים $\displaystyle {(1+2t)+(2-t)-(3+t)}={6}$, כלומר $\displaystyle {0}={6}$: אין פתרון, והישר מקביל למישור.

ישר מאונך למישור אם ורק אם וקטור הכיוון שלו מקביל לנורמל. לכן האנך מ-$\displaystyle P$ למישור הוא $\displaystyle {\underline{x}}={P+t\underline{n}}$, ועקב האנך $\displaystyle F$ הוא נקודת החיתוך שלו עם המישור.

דוגמה. עקב האנך מ-$\displaystyle P(4,-2,0)$ למישור $\displaystyle {2x-y+2z}={1}$:

• האנך: $\displaystyle (4+2t,\ -2-t,\ 2t)$;
• $\displaystyle {2(4+2t)-(-2-t)+2\cdot2t}={1}$, כלומר $\displaystyle {10+9t}={1}$, $\displaystyle {t}={-1}$;
• $\displaystyle {F}={(2,-1,-2)}$, והמרחק $\displaystyle {PF}={|t|\cdot|\underline{n}|}={1\cdot3}={3}$.

• הנורמלים מקבילים: המישורים מקבילים, או מתלכדים כשהמשוואות הן כפולה זו של זו ($\displaystyle {x+y}={1}$ ו-$\displaystyle {2x+2y}={2}$).
• הנורמלים אינם מקבילים: המישורים נחתכים בישר. מוצאים שתי נקודות משותפות – למשל עם $\displaystyle {z}={0}$ ועם $\displaystyle {z}={1}$, כל פעם מערכת בשני נעלמים – והישר עובר דרכן.

דוגמה. $\displaystyle {x+y+z}={6}$ ו-$\displaystyle {x-y+2z}={3}$:

• $\displaystyle {z}={1}$: $\displaystyle {x+y}={5}$, $\displaystyle {x-y}={1}$, ולכן $\displaystyle (3,2,1)$;
• $\displaystyle {z}={3}$: $\displaystyle {x+y}={3}$, $\displaystyle {x-y}={-3}$, ולכן $\displaystyle (0,3,3)$;
• ישר החיתוך: $\displaystyle {\underline{x}}={(3,2,1)+t(-3,1,2)}$. וקטור הכיוון מאונך לשני הנורמלים.

הישר $\displaystyle {\underline{x}}={(1,0,2)+t(1,2,-1)}$.

כתבו את נקודת החיתוך בסעיף 1, ואת המסקנה בסעיף 2.

המישורים $\displaystyle {x+y-z}={1}$ ו-$\displaystyle {x-y+z}={3}$.

כתבו את ישר החיתוך, ובדקו שהוא מוכל במישור הראשון: הציבו אותו במשוואה.

מצאו את עקב האנך מ-$\displaystyle P(1,2,3)$ למישור $\displaystyle {x+y+z}={0}$, ואת המרחק של $\displaystyle P$ מהמישור.

נמקו:

1. מהו המצב ההדדי של המישורים $\displaystyle {2x-y+z}={3}$ ו-$\displaystyle {4x-2y+2z}={5}$?
2. האם הישר $\displaystyle {\underline{x}}={(0,1,1)+t(-6,4,-2)}$ מאונך למישור $\displaystyle {3x-2y+z}={5}$?