שימושי המכפלה הסקלרית: הוכחות, אורכים וזוויות

המכפלה הסקלרית מוסיפה להוכחות בעזרת וקטורים שני כלים:

• ניצבות: מוכיחים ש-$\displaystyle {\underline{u}\cdot\underline{v}}={0}$;
• אורכים וזוויות: מחשבים $\displaystyle \underline{w}^2$ או $\displaystyle {\cos\alpha}={\frac{\underline{u}\cdot\underline{v}}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}}$.

מה שצריך לדעת על וקטורי הבסיס: את האורכים שלהם ואת הזוויות שביניהם – כלומר את כל המכפלות $\displaystyle \underline{u}^2$, $\displaystyle \underline{v}^2$, $\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$.

נוכיח: האלכסונים של מעוין מאונכים זה לזה.

בהוכחה שלפניכם נכפול את האלכסונים כפל סקלרי, ונראה שהמכפלה 0.

• $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}$, ובמעוין $\displaystyle {|\underline{u}|}={|\underline{v}|}$.
• $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\underline{u}+\underline{v}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{BD}}={\underline{v}-\underline{u}}$.
• $\displaystyle {\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}}={(\underline{v}+\underline{u})\cdot(\underline{v}-\underline{u})}={\underline{v}^2-\underline{u}^2}={0}$.
• לכן $\displaystyle AC\perp BD$.

נוכיח: אם ישר מאונך לשני ישרים נחתכים במישור שעוברים דרך העקב שלו, הוא מאונך לכל ישר במישור שעובר דרך העקב.

בהוכחה שלפניכם נביע ישר כלשהו במישור כצירוף של שני הישרים.

• $\displaystyle \underline{n}$ וקטור בכיוון הישר, ו-$\displaystyle \underline{u}$, $\displaystyle \underline{v}$ וקטורים בכיווני שני הישרים הנחתכים: $\displaystyle {\underline{n}\cdot\underline{u}}={0}$, $\displaystyle {\underline{n}\cdot\underline{v}}={0}$.
• $\displaystyle \underline{u}$ ו-$\displaystyle \underline{v}$ בלתי תלויים, ולכן כל וקטור $\displaystyle \underline{w}$ במישור הוא $\displaystyle s\underline{u}+t\underline{v}$.
• $\displaystyle {\underline{n}\cdot\underline{w}}={s(\underline{n}\cdot\underline{u})+t(\underline{n}\cdot\underline{v})}={0}$.

משפט שלושת האנכים מוכיחים באותה דרך: $\displaystyle {\overrightarrow{PA}}={\overrightarrow{PP'}+\overrightarrow{P'A}}$, ולכל וקטור $\displaystyle \underline{d}$ במישור $\displaystyle {\underline{d}\cdot\overrightarrow{PP'}}={0}$. לכן $\displaystyle {\underline{d}\cdot\overrightarrow{PA}}={\underline{d}\cdot\overrightarrow{P'A}}$: האחת 0 אם ורק אם השנייה 0.

בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$: $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\underline{w}}$, ו-$\displaystyle {|\underline{u}|}={4}$, $\displaystyle {|\underline{v}|}={3}$, $\displaystyle {|\underline{w}|}={2}$.
חשבו את הזווית בין האלכסונים $\displaystyle AC'$ ו-$\displaystyle BD'$.

בפתרון שלפניכם נשתמש בכך שמקצועות התיבה מאונכים: כל מכפלה של שני וקטורים שונים מבין $\displaystyle \underline{u}$, $\displaystyle \underline{v}$, $\displaystyle \underline{w}$ היא 0.

• $\displaystyle {\overrightarrow{AC'}}={\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{BD'}}={-\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}}$.
• $\displaystyle {\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{BD'}}={-\underline{u}^2+\underline{v}^2+\underline{w}^2}={-16+9+4}={-3}$.
• $\displaystyle {|\overrightarrow{AC'}|^2}={16+9+4}={29}$, וגם $\displaystyle {|\overrightarrow{BD'}|^2}={29}$.
• $\displaystyle {\cos\alpha}={\frac{-3}{29}}$, ולכן $\displaystyle \alpha\approx95.94^{\circ}$. הזווית בין הישרים היא הזווית החדה: $\displaystyle {180^{\circ}-95.94^{\circ}}={84.06^{\circ}}$.

$\displaystyle AB$ קוטר במעגל שמרכזו $\displaystyle O$, ו-$\displaystyle C$ נקודה על המעגל. $\displaystyle {\overrightarrow{OB}}={\underline{a}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{OC}}={\underline{c}}$.

הוכיחו: זווית היקפית שנשענת על קוטר היא ישרה.

במקבילית $\displaystyle ABCD$: $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}$.
הוכיחו: סכום ריבועי האלכסונים שווה לסכום ריבועי הצלעות. פתחו את $\displaystyle \overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{BD}^2$.

במשולש $\displaystyle ABC$, $\displaystyle CD$ הוא הגובה לצלע $\displaystyle AB$ (או להמשכה).
$\displaystyle {\overrightarrow{CB}}={\underline{v}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{CA}}={\underline{u}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={t\cdot\overrightarrow{AB}}$.
$\displaystyle {|\underline{v}|}={2}$, $\displaystyle {|\underline{u}|}={1}$, $\displaystyle {\cos\angle ACB}={\frac{3}{4}}$.

$\displaystyle {\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}}={0}$. פתחו, הציבו את $\displaystyle \underline{u}^2$, $\displaystyle \underline{v}^2$, $\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$, ומצאו את $\displaystyle t$.

מה הסימן של $\displaystyle t$ אומר על מקום הנקודה $\displaystyle D$?

בקובייה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ שאורך מקצועה 2: $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\underline{w}}$.
חשבו את הזווית בין האלכסון $\displaystyle AC'$ למקצוע $\displaystyle AB$. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.