המכפלה הסקלרית

המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא מספר:

• $\displaystyle \alpha$ היא הזווית בין הווקטורים כשהם יוצאים מאותה נקודה, $\displaystyle 0^{\circ}\le\alpha\le180^{\circ}$.
• הנקודה בצד שמאל היא פעולה בין וקטורים; בצד ימין – כפל של מספרים.
• לדוגמה: $\displaystyle {|\underline{u}|}={3}$, $\displaystyle {|\underline{v}|}={2}$, $\displaystyle {\alpha}={60^{\circ}}$: $\displaystyle {\underline{u}\cdot\underline{v}}={3\cdot2\cdot\frac{1}{2}}={3}$.

האורכים חיוביים, ולכן הסימן של $\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ הוא הסימן של $\displaystyle \cos\alpha$:

• $\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}>0$ – הזווית חדה;
• $\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}<0$ – הזווית קהה;
• $\displaystyle {\underline{u}\cdot\underline{v}}={0}$ – הזווית ישרה, או שאחד הווקטורים הוא $\displaystyle \underline{0}$.

כשהמכפלה ידועה, הזווית נמצאת מ-$\displaystyle {\cos\alpha}={\frac{\underline{u}\cdot\underline{v}}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}}$.

• $\displaystyle {\underline{u}\cdot\underline{v}}={\underline{v}\cdot\underline{u}}$;
• $\displaystyle {(t\underline{u})\cdot\underline{v}}={t(\underline{u}\cdot\underline{v})}$;
• $\displaystyle {\underline{u}\cdot(\underline{v}+\underline{w})}={\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}}$;
• $\displaystyle {\underline{u}\cdot\underline{u}}={|\underline{u}|^2}$, כי הזווית בין וקטור לעצמו היא $\displaystyle 0^{\circ}$. כותבים $\displaystyle \underline{u}^2$.

לכן פותחים סוגריים כמו באלגברה, וגם נוסחאות הכפל המקוצר נשמרות:

ו-$\displaystyle {(\underline{u}+\underline{v})\cdot(\underline{u}-\underline{v})}={\underline{u}^2-\underline{v}^2}$. כך מחשבים אורך: $\displaystyle {|\underline{w}|}={\sqrt{\underline{w}^2}}$.

$\displaystyle {|\underline{u}|}={3}$, $\displaystyle {|\underline{v}|}={2}$, והזווית ביניהם $\displaystyle 60^{\circ}$.
חשבו את $\displaystyle |\underline{u}+\underline{v}|$ ואת הזווית בין $\displaystyle \underline{u}$ ל-$\displaystyle \underline{u}+\underline{v}$.

בפתרון שלפניכם נחשב קודם את $\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$, ואחר כך נפתח סוגריים.

• $\displaystyle {\underline{u}\cdot\underline{v}}={3\cdot2\cdot\cos60^{\circ}}={3}$.
• $\displaystyle {(\underline{u}+\underline{v})^2}={\underline{u}^2+2\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}^2}={9+6+4}={19}$, ולכן $\displaystyle {|\underline{u}+\underline{v}|}={\sqrt{19}}$.
• $\displaystyle {\underline{u}\cdot(\underline{u}+\underline{v})}={\underline{u}^2+\underline{u}\cdot\underline{v}}={9+3}={12}$.
• $\displaystyle {\cos\beta}={\frac{12}{3\sqrt{19}}}$, ולכן $\displaystyle \beta\approx23.41^{\circ}$.

$\displaystyle {|\underline{u}|}={4}$, $\displaystyle {|\underline{v}|}={5}$, והזווית ביניהם $\displaystyle 120^{\circ}$.

$\displaystyle {|\underline{u}|}={|\underline{v}|}={1}$, ו-$\displaystyle {|\underline{u}+\underline{v}|}={\sqrt{3}}$.

$\displaystyle {|\underline{u}|}={2}$, $\displaystyle {|\underline{v}|}={3}$, והזווית ביניהם $\displaystyle 60^{\circ}$.
מצאו $\displaystyle t$ שעבורו $\displaystyle \underline{u}+t\underline{v}$ מאונך ל-$\displaystyle \underline{u}-\underline{v}$. (רמז: פתחו את $\displaystyle (\underline{u}+t\underline{v})\cdot(\underline{u}-\underline{v})$, הציבו, והשוו ל-0.)

נכון או לא נכון? נמקו.

1. אם $\displaystyle {\underline{u}\cdot\underline{v}}={\underline{u}\cdot\underline{w}}$ ו-$\displaystyle \underline{u}\neq\underline{0}$, אז $\displaystyle {\underline{v}}={\underline{w}}$.
2. אם $\displaystyle {|\underline{u}+\underline{v}|}={|\underline{u}-\underline{v}|}$, אז $\displaystyle \underline{u}\perp\underline{v}$.