מנסרה, פירמידה וגופי סיבוב

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 3 מתוך 23לימוד

מנסרה, פירמידה וגופי סיבוב

המנסרה

מנסרה היא גוף ששני בסיסיו מצולעים חופפים במישורים מקבילים, והפאות הצדדיות שלו מקביליות.

מקצוע צדדי מחבר שני קודקודים מתאימים של הבסיסים – $\displaystyle AA'$ , $\displaystyle BB'$ , $\displaystyle CC'$ ; כל המקצועות הצדדיים מקבילים ושווים.
הגובה $\displaystyle h$ הוא המרחק בין מישורי הבסיסים.
במנסרה ישרה המקצועות הצדדיים מאונכים לבסיסים: הפאות הצדדיות מלבנים, והגובה שווה למקצוע הצדדי.
תיבה היא מנסרה ישרה שבסיסה מלבן, וקובייה – תיבה שכל מקצועותיה שווים.

\displaystyle V

\displaystyle =

\displaystyle S\cdot h

שטח הפנים הוא שטח המעטפת (הפאות הצדדיות) ועוד שטחי שני הבסיסים.

הפירמידה

פירמידה היא גוף שבסיסו מצולע, והפאות הצדדיות שלו משולשים שנפגשים בנקודה אחת – הקודקוד $\displaystyle S$ .

הגובה הוא האנך $\displaystyle SO$ מהקודקוד למישור הבסיס.
בפירמידה ישרה הבסיס מצולע משוכלל, ועקב הגובה $\displaystyle O$ הוא מרכז הבסיס. אז כל המקצועות הצדדיים שווים, והפאות הצדדיות משולשים שווי שוקיים חופפים.
הגובה של פאה צדדית, $\displaystyle SM$ , יורד לאמצע צלע הבסיס.

\displaystyle V

\displaystyle =

\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}

גליל, חרוט וכדור

גליל ישר: שני בסיסים עגולים ברדיוס $\displaystyle R$ , גובה $\displaystyle h$ . הנפח כמו במנסרה, $\displaystyle {V}={\pi R^2h}$ ; שטח המעטפת $\displaystyle 2\pi Rh$ .
חרוט ישר: בסיס עגול, וקודקוד מעל מרכזו. הקו היוצר $\displaystyle \ell$ מחבר את הקודקוד עם שפת הבסיס: $\displaystyle {\ell^2}={R^2+h^2}$ . הנפח כמו בפירמידה, $\displaystyle {V}={\frac{\pi R^2h}{3}}$ .
כדור ברדיוס $\displaystyle R$ : כל נקודות הכדור במרחק של לכל היותר $\displaystyle R$ מהמרכז.

\displaystyle M

\displaystyle =

\displaystyle \pi R\ell

\displaystyle V

\displaystyle =

\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3

\displaystyle M

\displaystyle =

\displaystyle 4\pi R^2

דוגמה: פירמידה ישרה

בפירמידה ישרה $\displaystyle SABCD$ שבסיסה ריבוע: צלע הבסיס 6, והגובה $\displaystyle {SO}={4}$ .
חשבו את שטח הפנים ואת הנפח.

בפתרון שלפניכם נחשב קודם את גובה הפאה $\displaystyle SM$ , ממנו את שטח הפאות, ואחר כך את הנפח.

$\displaystyle {OM}={3}$ , ובמשולש $\displaystyle SOM$ , ישר הזווית ב- $\displaystyle O$ : $\displaystyle {SM}={\sqrt{4^2+3^2}}={5}$ .
שטח פאה: $\displaystyle {\frac{6\cdot5}{2}}={15}$ ; שטח המעטפת: $\displaystyle {4\cdot15}={60}$ .
שטח הפנים: $\displaystyle {60+6^2}={96}$ .
הנפח: $\displaystyle {V}={\frac{36\cdot4}{3}}={48}$ .

דוגמה: חרוט

רדיוס הבסיס של חרוט ישר הוא 3, והגובה שלו 4.
חשבו את שטח המעטפת ואת הנפח.

הקו היוצר: $\displaystyle {\ell}={\sqrt{3^2+4^2}}={5}$ .
שטח המעטפת: $\displaystyle {M}={\pi\cdot3\cdot5}={15\pi}$ .
הנפח: $\displaystyle {V}={\frac{\pi\cdot3^2\cdot4}{3}}={12\pi}$ .

תרגיל 1

הבסיסים של מנסרה ישרה הם משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 4, והגובה שלה 10.
חשבו את נפח המנסרה, מדויק. (שטח משולש שווה צלעות שצלעו $\displaystyle a$ הוא $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ .)

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע: צלע הבסיס 8, והמקצוע הצדדי 9.

הגובה של הפירמידה

הנפח

תרגיל 3

הקו היוצר של חרוט ישר הוא 10, והוא יוצר עם מישור הבסיס זווית של $\displaystyle 60^{\circ}$ .
עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

שטח המעטפת

הנפח

תרגיל 4

נפח של כדור הוא $\displaystyle 36\pi$ .
מצאו את הרדיוס $\displaystyle R$ .

שטח הפנים של הכדור, מדויק

נוסחאות: וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גופים במרחב

נפח מנסרה וגליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
שטח המעטפת של חרוט ישר – $\displaystyle R$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle \ell$ הקו היוצר
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\ell$
נפח כדור – $\displaystyle R$ רדיוס הכדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^2$
האלכסון של תיבה שמידותיה $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

טריגונומטריה במשולש

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
וקטורים קולינאריים (מקבילים)
$\displaystyle \underline{v}=t\cdot\underline{u}$
הנקודה $\displaystyle M$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle m:n$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ $\displaystyle AM:MB=m:n$
$\displaystyle M$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

המכפלה הסקלרית

אורך וקטור $\displaystyle {\underline{u}}={(u_1,u_2,u_3)}$
$\displaystyle |\underline{u}|=\sqrt{\underline{u}\cdot\underline{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$
מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$
מכפלה סקלרית – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\underline{u}+\underline{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underline{u}^2+2\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}^2$

נקודות ווקטורים במערכת צירים

וקטור בין שתי נקודות
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle AB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

ישר ומישור

ישר – $\displaystyle \underline{v}$ נקודה על הישר, $\displaystyle \underline{u}$ וקטור הכיוון
$\displaystyle \underline{x}=\underline{v}+t\cdot\underline{u}$
מישור בהצגה פרמטרית – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ אינם מקבילים
$\displaystyle \underline{x}=\underline{p}+t\cdot\underline{u}+s\cdot\underline{v}$
משוואת מישור – $\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,c)}$ וקטור הנורמל
$\displaystyle ax+by+cz+d=0$
המישור שעובר דרך $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ווקטור הנורמל שלו $\displaystyle (a,b,c)$
$\displaystyle a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

מרחקים

המרחק של נקודה $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ממישור $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c\cdot z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
המרחק בין המישורים המקבילים $\displaystyle {ax+by+cz+d_1}={0}$ ו- $\displaystyle {ax+by+cz+d_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

זוויות

הזווית בין שני ישרים – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ וקטורי הכיוון
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{u}\cdot\underline{v}|}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}$
הזווית בין הישר $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\cdot\underline{u}}$ למישור שהנורמל שלו $\displaystyle \underline{n}$
$\displaystyle \sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n}\cdot\underline{u}|}{|\underline{n}|\cdot|\underline{u}|}$
הזווית בין שני מישורים – $\displaystyle \underline{n_1}$ , $\displaystyle \underline{n_2}$ הנורמלים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}$