דלג לתוכן

טריגונומטריה בגופים

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 4 מתוך 23לימוד

טריגונומטריה בגופים

תזכורת: הטריגונומטריה של כיתה י'

בכיתה י’ למדתם לפתור כל משולש, לא רק ישר זווית:

c2\displaystyle c^2 =\displaystyle = a2+b2−2abcos⁡γ\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma
asin⁡α=bsin⁡β=2R\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=2R
S\displaystyle S =\displaystyle = 12absin⁡γ\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma

כדי לחשב אורך או זווית בגוף, מוצאים משולש מישורי שמכיל אותם, מחשבים את צלעותיו – לרוב במשולשים ישרי זווית – ופותרים אותו.

דוגמה: הזווית בין שתי פאות

ABCDSK

בפירמידה ישרה SABCD\displaystyle SABCD שבסיסה ריבוע, כל המקצועות שווים ל-4.
חשבו את הזווית בין הפאות SAB\displaystyle SAB ו-SAD\displaystyle SAD.

בפתרון שלפניכם נעביר אנכים ל-SA\displaystyle SA בשתי הפאות, ונחשב את הזווית ביניהם במשפט הקוסינוסים.

  • הפאה SAB\displaystyle SAB היא משולש שווה צלעות, ולכן האנך מ-B\displaystyle B ל-SA\displaystyle SA יורד לאמצע K\displaystyle K של SA\displaystyle SA, ו-BK=32⋅4=23\displaystyle {BK}={\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot4}={2\sqrt{3}}.
  • כך גם בפאה SAD\displaystyle SAD: DK⊥SA\displaystyle DK\perp SA ו-DK=23\displaystyle {DK}={2\sqrt{3}}. לכן הזווית בין הפאות היא ∠BKD\displaystyle \angle BKD.
  • BD\displaystyle BD הוא אלכסון הריבוע: BD=42\displaystyle {BD}={4\sqrt{2}}.
  • במשולש BKD\displaystyle BKD: cos⁡∠BKD=12+12−322⋅23⋅23=−13\displaystyle {\cos\angle BKD}={\frac{12+12-32}{2\cdot2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}}}={-\frac{1}{3}}, ולכן ∠BKD≈109.47∘\displaystyle \angle BKD\approx109.47^{\circ}.
דוגמה: חתך של כדור

drRM

מישור שנמצא במרחק d\displaystyle d ממרכז M\displaystyle M של כדור ברדיוס R\displaystyle R, כש-d<R\displaystyle d<R, חותך את הכדור במעגל.
מהו רדיוס המעגל?

  • האנך מ-M\displaystyle M למישור יורד למרכז המעגל.
  • כל נקודה על המעגל נמצאת על הכדור, במרחק R\displaystyle R מ-M\displaystyle M.
  • לפי משפט פיתגורס: r=R2−d2\displaystyle {r}={\sqrt{R^2-d^2}}, וההיקף של המעגל הוא 2πR2−d2\displaystyle 2\pi\sqrt{R^2-d^2}.
תרגיל 1

αABCDA′B′C′D′

בתיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D': AB=3\displaystyle {AB}={3}, AD=4\displaystyle {AD}={4}, AA′=12\displaystyle {AA'}={12}.
חשבו את הזווית α=∠B′AD′\displaystyle {\alpha}={\angle B'AD'}, מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    כל המקצועות של פירמידה משולשת SABC\displaystyle SABC שווים ל-6 (טטראדר משוכלל).
    עקב הגובה O\displaystyle O הוא מפגש התיכונים של הבסיס, ולכן AO\displaystyle AO הוא 23\displaystyle \frac{2}{3} מהתיכון.

    א
    AO\displaystyle AO, מדויק

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ב
      הגובה SO\displaystyle SO, מדויק

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ג
        הזווית בין המקצוע SA\displaystyle SA לבסיס, מעוגלת לשתי ספרות

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          מישור שנמצא במרחק 6 ממרכז של כדור ברדיוס 10 חותך את הכדור.
          חשבו את ההיקף של מעגל החיתוך, מדויק.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 4

            60°ABSOM

            כדור ברדיוס 3 חסום בחרוט ישר: הוא משיק לבסיס ולמעטפת.
            הקו היוצר של החרוט יוצר עם הבסיס זווית של 60∘\displaystyle 60^{\circ}.
            החתך דרך הציר של החרוט הוא משולש שווה צלעות SAB\displaystyle SAB, והמעגל החסום בו הוא חתך של הכדור.

            א
            רדיוס הבסיס של החרוט, OA\displaystyle OA (רמז: ∠MAO=30∘\displaystyle {\angle MAO}={30^{\circ}})

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב
              הגובה SO\displaystyle SO

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג
                נפח החרוט, מדויק

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה