חיבור, חיסור וכפל בסקלר

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 7 מתוך 23לימוד

חיבור, חיסור וכפל בסקלר

חיבור וקטורים

מטיילת הולכת מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle B$ , ואחר כך מ- $\displaystyle B$ ל- $\displaystyle C$ . ההעתקה של שתי ההליכות יחד היא מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle C$ . זה כלל המשולש:

\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

\displaystyle =

\displaystyle \overrightarrow{AC}

כדי לחבר $\displaystyle \underline{u}+\underline{v}$ , מזיזים את $\displaystyle \underline{v}$ כך שהזנב שלו יהיה בראש של $\displaystyle \underline{u}$ . הסכום מתחיל בזנב של $\displaystyle \underline{u}$ ונגמר בראש של $\displaystyle \underline{v}$ . כך גם בשרשרת: $\displaystyle {\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}}={\overrightarrow{AD}}$ .

כלל המקבילית וחיסור

כששני הווקטורים יוצאים מאותה נקודה $\displaystyle A$ , משלימים אותם למקבילית $\displaystyle ABCD$ :

כלל המקבילית: $\displaystyle {\underline{u}+\underline{v}}={\overrightarrow{AC}}$ , האלכסון שיוצא מ- $\displaystyle A$ .
חיסור: $\displaystyle {\underline{u}-\underline{v}}={\underline{u}+(-\underline{v})}$ . במקבילית: $\displaystyle {\underline{u}-\underline{v}}={\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}}={\overrightarrow{DB}}$ – האלכסון השני, מהראש של $\displaystyle \underline{v}$ לראש של $\displaystyle \underline{u}$ .

מכאן הדרך לכתוב כל וקטור בעזרת וקטורים שיוצאים מנקודה אחת $\displaystyle O$ :

\displaystyle \overrightarrow{AB}

\displaystyle =

\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}

כפל בסקלר

$\displaystyle t\cdot\underline{u}$ , כש- $\displaystyle t$ מספר, הוא וקטור מקביל ל- $\displaystyle \underline{u}$ :

אורכו $\displaystyle |t|\cdot|\underline{u}|$ ;
כש- $\displaystyle t>0$ הוא באותו כיוון כמו $\displaystyle \underline{u}$ , וכש- $\displaystyle t<0$ בכיוון ההפוך;
$\displaystyle {0\cdot\underline{u}}={\underline{0}}$ , ו- $\displaystyle {(-1)\cdot\underline{u}}={-\underline{u}}$ .

לדוגמה, $\displaystyle 2\underline{u}$ ארוך פי 2 מ- $\displaystyle \underline{u}$ , ו- $\displaystyle -\frac{1}{2}\underline{u}$ קצר פי 2 ממנו ופונה לצד השני.

תכונות הפעולות

לכל וקטורים $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ , $\displaystyle \underline{w}$ ולכל מספרים $\displaystyle s$ , $\displaystyle t$ :

$\displaystyle {\underline{u}+\underline{v}}={\underline{v}+\underline{u}}$ (חוק החילוף);
$\displaystyle {(\underline{u}+\underline{v})+\underline{w}}={\underline{u}+(\underline{v}+\underline{w})}$ (חוק הקיבוץ);
$\displaystyle {\underline{u}+\underline{0}}={\underline{u}}$ , ו- $\displaystyle {\underline{u}+(-\underline{u})}={\underline{0}}$ ;
$\displaystyle {1\cdot\underline{u}}={\underline{u}}$ , ו- $\displaystyle {s(t\underline{u})}={(st)\underline{u}}$ ;
$\displaystyle {(s+t)\underline{u}}={s\underline{u}+t\underline{u}}$ , ו- $\displaystyle {t(\underline{u}+\underline{v})}={t\underline{u}+t\underline{v}}$ (חוקי הפילוג).

אלה אותם חוקים שמקיימים מספרים בחיבור ובכפל. לכן ביטוי כמו $\displaystyle 3(\underline{u}+2\underline{v})-2(\underline{u}-\underline{v})$ מפשטים בדיוק כמו ביטוי אלגברי: $\displaystyle \underline{u}+8\underline{v}$ .

דוגמה: מטוס ורוח

מטוס טס במהירות 400 קמ"ש מזרחה. הוא נכנס לאזור שבו נושבת רוח לכיוון צפון־מערב במהירות 50 קמ"ש.
מה גודל המהירות של המטוס ביחס לקרקע, ומה הכיוון שלה?

בפתרון שלפניכם נחבר את שני וקטורי המהירות בכלל המשולש, ונפתור את המשולש.

הרוח פונה $\displaystyle 135^{\circ}$ מהמזרח, ולכן במשולש הזווית בין שני הווקטורים היא $\displaystyle {180^{\circ}-135^{\circ}}={45^{\circ}}$ .
משפט הקוסינוסים: $\displaystyle {|\underline{v}|^2}={400^2+50^2-2\cdot400\cdot50\cdot\cos45^{\circ}}$ , ולכן $\displaystyle |\underline{v}|\approx366.35$ קמ"ש.
משפט הסינוסים: $\displaystyle {\sin\beta}={\frac{50\sin45^{\circ}}{366.35}}$ , ולכן $\displaystyle \beta\approx5.54^{\circ}$ – המטוס נע $\displaystyle 5.54^{\circ}$ צפונה מהמזרח.

תרגיל 1

פשטו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

$\displaystyle ABCD$ מקבילית, $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}$ .
$\displaystyle M$ אמצע $\displaystyle BC$ , ו- $\displaystyle N$ אמצע $\displaystyle CD$ .
הביעו באמצעות $\displaystyle \underline{u}$ ו- $\displaystyle \underline{v}$ :

\displaystyle \overrightarrow{BD}

\displaystyle \overrightarrow{AM}

\displaystyle \overrightarrow{AN}

\displaystyle \overrightarrow{MN}

מה אפשר להסיק מ- $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ על הקטעים $\displaystyle MN$ ו- $\displaystyle BD$ ?

תרגיל 3

מטיילת הולכת 6 ק"מ מזרחה, ואחר כך 4 ק"מ בכיוון $\displaystyle 60^{\circ}$ צפונה מהמזרח.
מה המרחק שלה מנקודת ההתחלה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 4

על טבעת פועלים שני כוחות: 30 ניוטון מזרחה ו-40 ניוטון צפונה.

גודל הכוח השקול (הסכום)

איזה כוח שלישי צריך להפעיל, כדי שסכום הכוחות יהיה $\displaystyle \underline{0}$ והטבעת תישאר במקומה? תארו את גודלו ואת כיוונו.

נוסחאות: וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גופים במרחב

נפח מנסרה וגליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
שטח המעטפת של חרוט ישר – $\displaystyle R$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle \ell$ הקו היוצר
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\ell$
נפח כדור – $\displaystyle R$ רדיוס הכדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^2$
האלכסון של תיבה שמידותיה $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

טריגונומטריה במשולש

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
וקטורים קולינאריים (מקבילים)
$\displaystyle \underline{v}=t\cdot\underline{u}$
הנקודה $\displaystyle M$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle m:n$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ $\displaystyle AM:MB=m:n$
$\displaystyle M$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

המכפלה הסקלרית

אורך וקטור $\displaystyle {\underline{u}}={(u_1,u_2,u_3)}$
$\displaystyle |\underline{u}|=\sqrt{\underline{u}\cdot\underline{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$
מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$
מכפלה סקלרית – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\underline{u}+\underline{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underline{u}^2+2\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}^2$

נקודות ווקטורים במערכת צירים

וקטור בין שתי נקודות
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle AB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

ישר ומישור

ישר – $\displaystyle \underline{v}$ נקודה על הישר, $\displaystyle \underline{u}$ וקטור הכיוון
$\displaystyle \underline{x}=\underline{v}+t\cdot\underline{u}$
מישור בהצגה פרמטרית – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ אינם מקבילים
$\displaystyle \underline{x}=\underline{p}+t\cdot\underline{u}+s\cdot\underline{v}$
משוואת מישור – $\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,c)}$ וקטור הנורמל
$\displaystyle ax+by+cz+d=0$
המישור שעובר דרך $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ווקטור הנורמל שלו $\displaystyle (a,b,c)$
$\displaystyle a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

מרחקים

המרחק של נקודה $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ממישור $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c\cdot z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
המרחק בין המישורים המקבילים $\displaystyle {ax+by+cz+d_1}={0}$ ו- $\displaystyle {ax+by+cz+d_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

זוויות

הזווית בין שני ישרים – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ וקטורי הכיוון
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{u}\cdot\underline{v}|}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}$
הזווית בין הישר $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\cdot\underline{u}}$ למישור שהנורמל שלו $\displaystyle \underline{n}$
$\displaystyle \sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n}\cdot\underline{u}|}{|\underline{n}|\cdot|\underline{u}|}$
הזווית בין שני מישורים – $\displaystyle \underline{n_1}$ , $\displaystyle \underline{n_2}$ הנורמלים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}$