דלג לתוכן

הוכחות בעזרת וקטורים

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 10 מתוך 23לימוד

הוכחות בעזרת וקטורים

שיטת ההוכחה

משפטים על מקבילות, על יחסים בין קטעים ועל נקודות מפגש מוכיחים כך:

  • בוחרים שני וקטורים בלתי תלויים שיוצאים מאותה נקודה (במרחב – שלושה);
  • מביעים בעזרתם את הווקטורים שבטענה;
  • מקבילות: וקטור אחד הוא כפולה של האחר, v‾=tu‾\displaystyle {\underline{v}}={t\underline{u}} – והמספר t\displaystyle t הוא גם יחס האורכים;
  • נקודת מפגש ויחסים: מביעים אותו וקטור בשתי דרכים ומשווים מקדמים;
  • אותה נקודה: לשתי נקודות יש אותו וקטור מנקודה קבועה.
הוכחה: קטע האמצעים במשולש

ABCMN

במשולש ABC\displaystyle ABC, M\displaystyle M אמצע AB\displaystyle AB ו-N\displaystyle N אמצע AC\displaystyle AC. נוכיח: MN∥BC\displaystyle MN\parallel BC ו-MN=12BC\displaystyle {MN}={\frac{1}{2}BC}.

בהוכחה שלפניכם נביע את MN→\displaystyle \overrightarrow{MN} ואת BC→\displaystyle \overrightarrow{BC} בעזרת AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} ו-AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}.

  • AM→=12AB→\displaystyle {\overrightarrow{AM}}={\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}} ו-AN→=12AC→\displaystyle {\overrightarrow{AN}}={\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}}.
  • MN→=AN→−AM→=12(AC→−AB→)=12BC→\displaystyle {\overrightarrow{MN}}={\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}}={\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}={\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}}.
  • MN→\displaystyle \overrightarrow{MN} הוא כפולה של BC→\displaystyle \overrightarrow{BC}, ולכן MN∥BC\displaystyle MN\parallel BC ו-MN=12BC\displaystyle {MN}={\frac{1}{2}BC}.
הוכחה: אלכסונים שחוצים זה את זה

האלכסונים של המרובע ABCD\displaystyle ABCD חוצים זה את זה בנקודה O\displaystyle O. נוכיח: ABCD\displaystyle ABCD מקבילית.

בהוכחה שלפניכם נראה ש-AB→=DC→\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{DC}}.

  • O\displaystyle O אמצע AC\displaystyle AC ואמצע BD\displaystyle BD, ולכן OC→=−OA→\displaystyle {\overrightarrow{OC}}={-\overrightarrow{OA}} ו-OD→=−OB→\displaystyle {\overrightarrow{OD}}={-\overrightarrow{OB}}.
  • AB→=OB→−OA→\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}}.
  • DC→=OC→−OD→=−OA→+OB→\displaystyle {\overrightarrow{DC}}={\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}}={-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}.
  • AB→=DC→\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{DC}}: הצלעות AB\displaystyle AB ו-DC\displaystyle DC מקבילות ושוות, ולכן ABCD\displaystyle ABCD מקבילית.
תרגיל 1

במשולש ABC\displaystyle ABC: AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, AC→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\underline{v}}.
D\displaystyle D על AB\displaystyle AB ו-AD:DB=1:2\displaystyle {AD:DB}={1:2}; E\displaystyle E על AC\displaystyle AC ו-AE:EC=1:2\displaystyle {AE:EC}={1:2}.

א
DE→\displaystyle \overrightarrow{DE}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    הוכיחו ש-DE∥BC\displaystyle DE\parallel BC ו-DE=13BC\displaystyle {DE}={\frac{1}{3}BC}.

    תרגיל 2

    במרובע ABCD\displaystyle ABCD: AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, AD→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}, ו-DC→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{DC}}={\underline{u}}.

    א
    AK→\displaystyle \overrightarrow{AK}, כש-K\displaystyle K אמצע AC\displaystyle AC

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ב
      AL→\displaystyle \overrightarrow{AL}, כש-L\displaystyle L אמצע BD\displaystyle BD

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ג

        הוכיחו: במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.

        תרגיל 3

        ABCDMN

        בטרפז ABCD\displaystyle ABCD (AB∥DC\displaystyle AB\parallel DC): AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, AD→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\underline{v}}, ו-DC→=12u‾\displaystyle {\overrightarrow{DC}}={\frac{1}{2}\underline{u}}.
        M\displaystyle M אמצע האלכסון AC\displaystyle AC, ו-N\displaystyle N אמצע האלכסון BD\displaystyle BD.

        א
        AM→\displaystyle \overrightarrow{AM}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב
          AN→\displaystyle \overrightarrow{AN}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג
            MN→\displaystyle \overrightarrow{MN}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ד

              מה אפשר להסיק על MN\displaystyle MN? השוו את אורכו להפרש הבסיסים AB−DC\displaystyle AB-DC.

              תרגיל 4

              uvABCDEF

              ABCD\displaystyle ABCD מרובע – אולי לא במישור אחד. E\displaystyle E אמצע AD\displaystyle AD, ו-F\displaystyle F אמצע BC\displaystyle BC.
              AB→=u‾\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\underline{u}}, DC→=v‾\displaystyle {\overrightarrow{DC}}={\underline{v}}.

              1. הוכיחו: EF→=12(u‾+v‾)\displaystyle {\overrightarrow{EF}}={\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})}. (רמז: הביעו את EF→\displaystyle \overrightarrow{EF} בדרך שעוברת דרך A\displaystyle A ו-B\displaystyle B, ובדרך שעוברת דרך D\displaystyle D ו-C\displaystyle C, וחברו.)
              2. מה מקבלים כש-ABCD\displaystyle ABCD טרפז ו-AB∥DC\displaystyle AB\parallel DC?