וקטורים במערכת צירים

שלושה צירים מאונכים זה לזה נפגשים בראשית $\displaystyle O$: ציר $\displaystyle x$ (פונה אלינו), ציר $\displaystyle y$ (ימינה) וציר $\displaystyle z$ (למעלה).

• לכל נקודה שלושה שיעורים: $\displaystyle P(3,4,3)$ – הולכים 3 לאורך $\displaystyle x$, 4 לאורך $\displaystyle y$ ו-3 למעלה.
• מישורי הצירים: המישור $\displaystyle xy$ (שם $\displaystyle {z}={0}$), המישור $\displaystyle xz$ ($\displaystyle {y}={0}$), המישור $\displaystyle yz$ ($\displaystyle {x}={0}$).
• וקטור המקום של $\displaystyle P$ הוא $\displaystyle {\overrightarrow{OP}}={(3,4,3)}$. אם $\displaystyle \underline{i}$, $\displaystyle \underline{j}$, $\displaystyle \underline{k}$ וקטורים באורך 1 לאורך הצירים, $\displaystyle {\overrightarrow{OP}}={3\underline{i}+4\underline{j}+3\underline{k}}$ – ההצגה היחידה של $\displaystyle \overrightarrow{OP}$ בעזרתם.

וקטור שזנבו בראשית מתאר נקודה, ולכן אותם שיעורים מתארים גם וקטור וגם נקודה.

מכיוון ש-$\displaystyle {\underline{u}}={u_1\underline{i}+u_2\underline{j}+u_3\underline{k}}$, הפעולות נעשות שיעור שיעור:

• $\displaystyle {(u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3)}={(u_1+v_1,\ u_2+v_2,\ u_3+v_3)}$, ו-$\displaystyle {t(u_1,u_2,u_3)}={(tu_1,tu_2,tu_3)}$;
• וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה: $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={B-A}$;
• אורך: $\displaystyle {|\underline{u}|}={\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}}$ (פיתגורס פעמיים, כמו באלכסון התיבה);
• נקודה $\displaystyle M$ שמחלקת את $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle m:n$: $\displaystyle {M}={\frac{nA+mB}{m+n}}$; האמצע – $\displaystyle \frac{A+B}{2}$.

וקטורי היחידה מאונכים ואורכם 1: $\displaystyle {\underline{i}^2}={\underline{j}^2}={\underline{k}^2}={1}$, ו-$\displaystyle {\underline{i}\cdot\underline{j}}={\underline{i}\cdot\underline{k}}={\underline{j}\cdot\underline{k}}={0}$. בפתיחת הסוגריים נשארות רק המכפלות של שיעורים מתאימים:

נתונות הנקודות $\displaystyle A(1,2,3)$, $\displaystyle B(4,0,-1)$, $\displaystyle C(2,5,1)$.
חשבו את הזווית $\displaystyle BAC$ ואת אמצע הצלע $\displaystyle BC$.

• $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={(3,-2,-4)}$, $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={(1,3,-2)}$.
• $\displaystyle {\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}={3-6+8}={5}$.
• $\displaystyle {|\overrightarrow{AB}|}={\sqrt{9+4+16}}={\sqrt{29}}$, $\displaystyle {|\overrightarrow{AC}|}={\sqrt{1+9+4}}={\sqrt{14}}$.
• $\displaystyle {\cos\angle BAC}={\frac{5}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{14}}}$, ולכן $\displaystyle \angle BAC\approx75.63^{\circ}$.
• אמצע $\displaystyle BC$: $\displaystyle {\left(\frac{4+2}{2},\frac{0+5}{2},\frac{-1+1}{2}\right)}={\left(3,\frac{5}{2},0\right)}$.

$\displaystyle {\underline{u}}={(2,-1,3)}$, $\displaystyle {\underline{v}}={(1,4,-2)}$.

נתונות הנקודות $\displaystyle A(1,0,2)$ ו-$\displaystyle B(4,6,-1)$.
מצאו את הנקודה $\displaystyle M$ על $\displaystyle AB$ שמקיימת $\displaystyle {AM:MB}={1:2}$.

$\displaystyle {\underline{a}}={(1,2,3)}$, $\displaystyle {\underline{b}}={(4,5,6)}$, $\displaystyle {\underline{c}}={(2,1,0)}$.

הביעו את $\displaystyle \underline{c}$ כצירוף לינארי של $\displaystyle \underline{a}$ ו-$\displaystyle \underline{b}$: פתרו את המשוואה הווקטורית, שהיא שלוש משוואות.

לווקטור $\displaystyle (1,1,1)$ מצאתם שתי הצגות שונות בעזרת $\displaystyle \underline{a}$, $\displaystyle \underline{b}$, $\displaystyle \underline{c}$. האם זו סתירה לעקרון יחידות ההצגה? נמקו.

מצאו את $\displaystyle a$ שעבורו הווקטורים $\displaystyle (a,2,-1)$ ו-$\displaystyle (3,a,4)$ מאונכים.

נתונות הנקודות $\displaystyle A(2,1,0)$, $\displaystyle B(4,3,1)$, $\displaystyle C(1,3,-2)$.