וקטור: קטע מכוון

וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 6 מתוך 23לימוד

וקטור: קטע מכוון

גודל עם כיוון

יש גדלים שמספר אחד מתאר אותם: טמפרטורה, מסה, זמן. אלה גדלים סקלריים, והמספר נקרא סקלר.

יש גדלים שצריך לדעת גם את הכיוון שלהם:

העתקה – מטיילת הלכה 5 ק"מ; לאן? צפונה או מזרחה – והיא מגיעה למקום אחר;
כוח – שני אנשים מושכים חבל קשור לעמוד, כל אחד לכיוון אחר;
מהירות – מטוס טס 400 קמ"ש מזרחה, והרוח נושבת לצפון־מערב.

גודל כזה הוא גודל וקטורי, ומתארים אותו בוקטור.

קטע מכוון

וקטור הוא קטע מכוון: קטע ששני קצותיו אינם שווים – לאחד קוראים זנב ולשני ראש.

הווקטור שזנבו ב- $\displaystyle A$ וראשו ב- $\displaystyle B$ מסומן $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ . מסמנים וקטור גם באות אחת עם קו מתחתיה: $\displaystyle \underline{u}$ .
אורך הווקטור הוא אורך הקטע: $\displaystyle {|\overrightarrow{AB}|}={AB}$ .
שני וקטורים שווים כשיש להם אותו אורך ואותו כיוון. בציור $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{CD}}$ , והמרובע $\displaystyle ABDC$ מקבילית.

לכן מותר להזיז וקטור למקום אחר, כל עוד הוא נשאר מקביל לעצמו ובאותו אורך – זה אותו וקטור.

וקטור נגדי ווקטור האפס

הווקטור $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ נגדי ל- $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ : אותו אורך, כיוון הפוך. מסמנים $\displaystyle {\overrightarrow{BA}}={-\overrightarrow{AB}}$ .
וקטור האפס $\displaystyle {\overrightarrow{AA}}={\underline{0}}$ : אורכו 0, ואין לו כיוון.
שני וקטורים מקבילים (קולינאריים) כשהם על ישרים מקבילים או על אותו ישר: באותו כיוון או בכיוונים הפוכים.

דוגמה: וקטורים במקבילית

במקבילית $\displaystyle ABCD$ האלכסונים נפגשים בנקודה $\displaystyle O$ .

$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{DC}}$ : הצלעות הנגדיות מקבילות ושוות, ובאותו כיוון.
$\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\overrightarrow{BC}}$ .
$\displaystyle {\overrightarrow{AO}}={\overrightarrow{OC}}$ , כי האלכסונים חוצים זה את זה; ו- $\displaystyle {\overrightarrow{OB}}={-\overrightarrow{OD}}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ ו- $\displaystyle \overrightarrow{CD}$ מקבילים ושווים באורכם, אבל אינם שווים: $\displaystyle {\overrightarrow{CD}}={-\overrightarrow{AB}}$ .

תרגיל 1

$\displaystyle ABCDEF$ משושה משוכלל שמרכזו $\displaystyle O$ .

רשמו את כל הווקטורים שבציור (בין שתי נקודות מסומנות) ששווים ל- $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ .
רשמו שלושה וקטורים נגדיים ל- $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ .
האם $\displaystyle {\overrightarrow{AF}}={\overrightarrow{CD}}$ ? נמקו.

תרגיל 2

בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ :

רשמו את כל הווקטורים שבין קודקודי התיבה ששווים ל- $\displaystyle \overrightarrow{AA'}$ .
רשמו את כל הווקטורים שבין קודקודי התיבה שנגדיים ל- $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ .

תרגיל 3

נכון או לא נכון? נמקו, או תנו דוגמה נגדית.

אם $\displaystyle {|\overrightarrow{AB}|}={|\overrightarrow{CD}|}$ , אז $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{CD}}$ .
אם $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{CD}}$ , אז $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\overrightarrow{BD}}$ .

תרגיל 4

אורך המקצוע של קובייה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ הוא 2.
מהו האורך של הווקטור $\displaystyle \overrightarrow{AC'}$ ? מדויק.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

נוסחאות: וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גופים במרחב

נפח מנסרה וגליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
שטח המעטפת של חרוט ישר – $\displaystyle R$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle \ell$ הקו היוצר
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\ell$
נפח כדור – $\displaystyle R$ רדיוס הכדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^2$
האלכסון של תיבה שמידותיה $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

טריגונומטריה במשולש

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
וקטורים קולינאריים (מקבילים)
$\displaystyle \underline{v}=t\cdot\underline{u}$
הנקודה $\displaystyle M$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle m:n$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ $\displaystyle AM:MB=m:n$
$\displaystyle M$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

המכפלה הסקלרית

אורך וקטור $\displaystyle {\underline{u}}={(u_1,u_2,u_3)}$
$\displaystyle |\underline{u}|=\sqrt{\underline{u}\cdot\underline{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$
מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$
מכפלה סקלרית – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\underline{u}+\underline{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underline{u}^2+2\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}^2$

נקודות ווקטורים במערכת צירים

וקטור בין שתי נקודות
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle AB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

ישר ומישור

ישר – $\displaystyle \underline{v}$ נקודה על הישר, $\displaystyle \underline{u}$ וקטור הכיוון
$\displaystyle \underline{x}=\underline{v}+t\cdot\underline{u}$
מישור בהצגה פרמטרית – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ אינם מקבילים
$\displaystyle \underline{x}=\underline{p}+t\cdot\underline{u}+s\cdot\underline{v}$
משוואת מישור – $\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,c)}$ וקטור הנורמל
$\displaystyle ax+by+cz+d=0$
המישור שעובר דרך $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ווקטור הנורמל שלו $\displaystyle (a,b,c)$
$\displaystyle a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

מרחקים

המרחק של נקודה $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ממישור $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c\cdot z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
המרחק בין המישורים המקבילים $\displaystyle {ax+by+cz+d_1}={0}$ ו- $\displaystyle {ax+by+cz+d_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

זוויות

הזווית בין שני ישרים – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ וקטורי הכיוון
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{u}\cdot\underline{v}|}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}$
הזווית בין הישר $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\cdot\underline{u}}$ למישור שהנורמל שלו $\displaystyle \underline{n}$
$\displaystyle \sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n}\cdot\underline{u}|}{|\underline{n}|\cdot|\underline{u}|}$
הזווית בין שני מישורים – $\displaystyle \underline{n_1}$ , $\displaystyle \underline{n_2}$ הנורמלים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}$