שבר עשרוני מחזורי

כשאפשר להרחיב את המכנה ל-10, 100, 1000 …, קל לכתוב את השבר כמספר עשרוני: $\displaystyle {\frac{3}{4}}={\frac{75}{100}}={0.75}$.

את $\displaystyle \frac{1}{3}$ אי אפשר להרחיב ל-10, 100 או 1000 – אף אחד מהם אינו כפולה של 3. לכן מחלקים: $\displaystyle {\frac{1}{3}}={1:3}$. בכל שלב של החילוק נשארת אותה שארית, 1, ולכן הוא לא נגמר: $\displaystyle {\frac{1}{3}}={0.333\ldots}$

מספר עשרוני כזה הוא מחזורי: אותן ספרות חוזרות שוב ושוב. קו מעליהן מראה אילו: $\displaystyle {0.333\ldots}={0.\overline{3}}$, ו-$\displaystyle {\frac{1}{7}}={0.142857142857\ldots}={0.\overline{142857}}$. לפעמים המחזור מתחיל מאוחר יותר: $\displaystyle {\frac{5}{6}}={0.8333\ldots}={0.8\overline{3}}$.

לחישובים מספיקות 3 או 4 ספרות אחרי הנקודה: $\displaystyle \frac{1}{3}\approx0.333$ (הסימן $\displaystyle \approx$ פירושו “בערך”). הספרה האחרונה מעוגלת: אם הספרה שאחריה 5 או יותר, מוסיפים לה 1 – $\displaystyle {\frac{2}{3}}={0.6666\ldots\approx0.667}$.

הרחיבו ל-10, 100 או 1000, וכתבו כמספר עשרוני.

חלקו (מותר במחשבון), כתבו 4 ספרות אחרי הנקודה, וסמנו אילו ספרות חוזרות.

$\displaystyle \frac{2}{3} \qquad \frac{1}{6} \qquad \frac{5}{9} \qquad \frac{4}{11}$

חקרו: אילו מבין $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \ldots \frac{1}{12}$ נותנים מספר עשרוני שנגמר, ואילו – מחזורי?
אתם יכולים למצוא כלל?